Prove os seguintes limites usando a definição.
lim x 3 x^2-2=7

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de limite, que
limx to 3 l(x^2-2r) = 7
O conteúdo aqui é a prova varepsilon de<a de limite para uma função polinomial.

Passo 2

Pela definição de limite, precisamos mostrar que dado qualquer varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, se
0 < |x - 3| < de<a,
então
l|(x^2-2) - 7r| < varepsilon

Passo 3

Calculemos a diferença em valor absoluto:
l|(x^2-2) - 7r| = |x^2 - 9| = |x-3|;l|x+3r|
Para controlar l|x+3r|, vamos restringir de<a <= 1. Se |x-3| < 1, então
|x+3| = |(x-3)+6| <= |x-3| + 6 < 1 + 6 = 7
Logo, sempre que de<a <= 1 temos
l|(x^2-2)-7r| < 7,|x-3|

Passo 4

Queremos garantir
7,|x-3| < varepsilon,
isto é,
|x-3| < varepsilon7
Portanto, basta escolher
de<a = minl1,;varepsilon7r
Assim, 0<|x-3|<de<a implica simultaneamente |x-3|<1 (para controlar x+3) e |x-3|<varepsilon/7 (para satisfazer a desigualdade desejada).

Resposta

Para todo varepsilon>0, tomando
de<a = minl1,;varepsilon7r,
temos 0<|x-3|<de<a Rightarrow l|(x^2-2)-7r|<varepsilon. Logo
limx to 3 l(x^2-2r) = 7

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