Prove as seguintes propriedades, com a, b, c, d in Z
Se b d mid a d então b mid a

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados a,b,dinZ com dneq0, de
b,d mid a,d
segue
b mid a
Vamos usar a definição de divisibilidade em Z e o fato de que podemos cancelar um fator não nulo em uma igualdade inteira.

Passo 2

Suponha que b,dmid a,d. Pela definição de divisibilidade, existe um inteiro k tal que
a,d = (b,d),k

Passo 3

Reescrevendo o lado direito, temos
(b,d),k ;=; b,(d,k)
Como d,kinZ, podemos definir
m = d,kcom minZ,
de modo que
a,d = b,m

Passo 4

Como dneq0, podemos dividir ambos os lados por d. Note que dmid b,m porque m=d,k, e assim
a = b,md = b,md
Mas tfracmd = kinZ, logo
a = b,k

Passo 5

A igualdade a = b,k mostra, pela definição de divisibilidade, que
b mid a

Resposta

Foi demonstrado que, se dneq0 e b,dmid a,d, então bmid a.

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