Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de X e Y e X, Y=X Y+Y X é o anticomutador de X e Y
c) [A, B+C]=[A, B]+[A, C])

Passo 1

O enunciado pede para provar que o comutador de um operador A com a soma B+C se separa em dois comutadores, ou seja, mostrar que [A, B+C] = [A,B] + [A,C]. O conteúdo é a propriedade de linearidade do comutador e vamos usar a definição [X,Y] = XY - YX.

Passo 2

Começamos pela definição:
[A, B+C] = A,(B+C) ;- (B+C),A

Passo 3

Usando a distributividade do produto sobre soma, temos
A,(B+C) = AB + AC, (B+C),A = BA + CA

Passo 4

Substituindo em [A, B+C]:
[A, B+C] = (AB + AC) - (BA + CA) = (AB - BA) + (AC - CA) = [A,B] + [A,C]

Resposta

[A, B+C] = [A,B] + [A,C]

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