Prove os seguintes teoremas (importantes!!):
Se
for uma função par
, então
tem paridade definida, isto é, é uma função par ou ímpar de
em torno de
. Dica: Se
satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo para uma dada energia
, então
também obedecerá à mesma equação com a mesma energia, e portanto a combinação linear
, que é uma função par por construção, também obedecerá, bem como a combinação
, que é por construção uma função ímpar.
Se
Passo 1
O enunciado dá que a função potencial satisfaz
(potencial par) e pede para mostrar que uma solução
da equação de Schrödinger independente do tempo, para uma dada energia
, tem paridade definida: isto é, que
pode ser escolhida como função par ou ímpar em torno de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
(potencial par). -
satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo para a energia - A sugestão indica verificar que
também satisfaz a mesma equação e usar combinações lineares .
Passo 2
Escrevendo explicitamente a equação que
satisfaz e explicando os símbolos. A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é
onde
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a segunda derivada de
em relação a
,
é o potencial e
é a energia (autovalor). Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Linearidade significa que se
e
são soluções para o mesmo
, então qualquer combinação linear
(com constantes
) também é solução.
Passo 3
Mostrar que
é também solução da mesma equação. Substituímos
por
na equação de Schrödinger e usamos que
é par:
Mas
(a segunda derivada em
é igual à segunda derivada em
), e por hipótese
. Portanto a equação se transforma em
ou seja,
satisfaz a mesma equação para a mesma energia
. Conclusão: se
é solução, então
também é solução.
Passo 4
Construir combinações par e ímpar. Pela linearidade da equação, as funções
e
são soluções associadas à mesma energia
. Verificamos a paridade por construção:
- Para
temos , logo é par. - Para
temos , logo é ímpar.
Assim, a partir de qualquer soluçãopodemos obter soluções explicitamente pares e ímpares.
Passo 5
Argumento de não-degenerescência que força paridade definida para autovalores simples. Suponha que a energia
seja um autovalor não degenerado, isto é, o espaço de soluções (autovetores) associados a
tem dimensão
— em termos físicos, há (até fator multiplicativo) uma única função própria normalizável para
. Como
é uma solução, e vimos que
também é solução para o mesmo
, a não-degenerescência implica que
deve ser proporcional a
:
para alguma constante complexa
. Aplicando essa relação duas vezes, substituindo
, obtemos
Como
não é a função nula, segue
, logo
. Portanto ou
(caso
) —
é par — ou
(caso
) —
é ímpar. Isso prova que, para autovalores não degenerados, a função própria tem paridade definida.
Passo 6
Comentário sobre o caso degenerado e por que em 1D de interesse prático isso não ocorre para estados ligados. Se o autovalor
fosse degenerado (espaço próprio de dimensão maior que
), pode existir uma família de combinações lineares de soluções; mesmo nesse caso, pode-se escolher uma base do espaço próprio composta por funções de paridade definida, porque a operação
(o operador paridade) comuta com o hamiltoniano quando
é par, e um conjunto de autovetores comuns pode ser encontrado que diagonaliza ambos. Na prática, para potenciais regulares em uma dimensão, os estados ligados são tipicamente não degenerados (resultado de teoria de Sturm–Liouville/unicidade de problemas de contorno para equações diferenciais de segunda ordem), então a conclusão anterior cobre os casos que você encontrará em provas e exercícios: cada estado ligado é par ou ímpar.
Passo 7
Resumo didático e final — como aplicar isso numa prova. Estratégia prática: ao enfrentar um problema com
, se você tiver uma solução
, escreva
e
; estas são soluções com paridade definida. Se o autovalor for não degenerado, observe que
deve ser proporcional a
e então conclua que a proporção é
, dando paridade par ou ímpar. Dica amiga: isso serve para simplificar condições de contorno em
e para escolher funções de base com simetria adequada — muito útil em separação de variáveis e ao construir ansatz para autovetores.
Resposta
Se
, então, para cada autovalor não degenerado
, a função própria
pode ser escolhida de paridade definida:
, isto é,
é par ou ímpar.