Prove os seguintes teoremas (importantes!!):
Se V(x) for uma função par (V(-x)=V(x)), então \psi(x) tem paridade definida, isto é, é uma função par ou ímpar de x em torno de x=0. Dica: Se \psi(x) satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo para uma dada energia E, então \psi(-x) também obedecerá à mesma equação com a mesma energia, e portanto a combinação linear \psi(x)+\psi(-x), que é uma função par por construção, também obedecerá, bem como a combinação \psi(x)-\psi(-x), que é por construção uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado dá que a função potencial satisfaz \;V(-x)=V(x)\; (potencial par) e pede para mostrar que uma solução \psi(x) da equação de Schrödinger independente do tempo, para uma dada energia E, tem paridade definida: isto é, que \psi(x) pode ser escolhida como função par ou ímpar em torno de x=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • \;V(-x)=V(x)\; (potencial par).
  • \psi(x) satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo para a energia \;E\;.
  • A sugestão indica verificar que \psi(-x) também satisfaz a mesma equação e usar combinações lineares \psi(x)\pm\psi(-x).

Passo 2

Escrevendo explicitamente a equação que \psi satisfaz e explicando os símbolos. A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''(x) + V(x)\,\psi(x) = E\,\psi(x),
onde \hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, \psi''(x) é a segunda derivada de \psi em relação a x, V(x) é o potencial e E é a energia (autovalor). Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Linearidade significa que se \psi_{1} e \psi_{2} são soluções para o mesmo E, então qualquer combinação linear a\psi_{1}+b\psi_{2} (com constantes a,b) também é solução.

Passo 3

Mostrar que \psi(-x) é também solução da mesma equação. Substituímos x por -x na equação de Schrödinger e usamos que V é par:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}}{d(-x)^{2}}\psi(-x) + V(-x)\,\psi(-x) = E\,\psi(-x).
Mas \frac{d^{2}}{d(-x)^{2}}=\frac{d^{2}}{dx^{2}} (a segunda derivada em -x é igual à segunda derivada em x), e por hipótese V(-x)=V(x). Portanto a equação se transforma em
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''(-x) + V(x)\,\psi(-x) = E\,\psi(-x),
ou seja, \psi(-x) satisfaz a mesma equação para a mesma energia E. Conclusão: se \psi(x) é solução, então \psi(-x) também é solução.

Passo 4

Construir combinações par e ímpar. Pela linearidade da equação, as funções
\psi_{+}(x)=\psi(x)+\psi(-x)
e
\psi_{-}(x)=\psi(x)-\psi(-x)
são soluções associadas à mesma energia E. Verificamos a paridade por construção:
  • Para \psi_{+} temos \psi_{+}(-x)=\psi(-x)+\psi(x)=\psi_{+}(x), logo \psi_{+} é par.
  • Para \psi_{-} temos \psi_{-}(-x)=\psi(-x)-\psi(x)=-\psi_{-}(x), logo \psi_{-} é ímpar.
    Assim, a partir de qualquer solução \psi podemos obter soluções explicitamente pares e ímpares.

Passo 5

Argumento de não-degenerescência que força paridade definida para autovalores simples. Suponha que a energia E seja um autovalor não degenerado, isto é, o espaço de soluções (autovetores) associados a E tem dimensão 1 — em termos físicos, há (até fator multiplicativo) uma única função própria normalizável para E. Como \psi(x) é uma solução, e vimos que \psi(-x) também é solução para o mesmo E, a não-degenerescência implica que \psi(-x) deve ser proporcional a \psi(x):
\psi(-x)=\lambda\,\psi(x)
para alguma constante complexa \lambda. Aplicando essa relação duas vezes, substituindo x\mapsto -x, obtemos
\psi(x)=\lambda\,\psi(-x)=\lambda^{2}\,\psi(x).
Como \psi não é a função nula, segue \lambda^{2}=1, logo \lambda=\pm 1. Portanto ou \psi(-x)=\psi(x) (caso \lambda=+1) — \psi é par — ou \psi(-x)=-\psi(x) (caso \lambda=-1) — \psi é ímpar. Isso prova que, para autovalores não degenerados, a função própria tem paridade definida.

Passo 6

Comentário sobre o caso degenerado e por que em 1D de interesse prático isso não ocorre para estados ligados. Se o autovalor E fosse degenerado (espaço próprio de dimensão maior que 1), pode existir uma família de combinações lineares de soluções; mesmo nesse caso, pode-se escolher uma base do espaço próprio composta por funções de paridade definida, porque a operação P:\psi(x)\mapsto\psi(-x) (o operador paridade) comuta com o hamiltoniano quando V é par, e um conjunto de autovetores comuns pode ser encontrado que diagonaliza ambos. Na prática, para potenciais regulares em uma dimensão, os estados ligados são tipicamente não degenerados (resultado de teoria de Sturm–Liouville/unicidade de problemas de contorno para equações diferenciais de segunda ordem), então a conclusão anterior cobre os casos que você encontrará em provas e exercícios: cada estado ligado é par ou ímpar.

Passo 7

Resumo didático e final — como aplicar isso numa prova. Estratégia prática: ao enfrentar um problema com V(-x)=V(x), se você tiver uma solução \psi, escreva \psi_{+}=\psi+\psi(-x) e \psi_{-}=\psi-\psi(-x); estas são soluções com paridade definida. Se o autovalor for não degenerado, observe que \psi(-x) deve ser proporcional a \psi(x) e então conclua que a proporção é \pm 1, dando paridade par ou ímpar. Dica amiga: isso serve para simplificar condições de contorno em x=0 e para escolher funções de base com simetria adequada — muito útil em separação de variáveis e ao construir ansatz para autovetores.

Resposta

Se \;V(-x)=V(x)\;, então, para cada autovalor não degenerado E, a função própria \psi(x) pode ser escolhida de paridade definida: \psi(-x)=\pm\psi(x), isto é, \psi é par ou ímpar.

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