Prove os seguintes teoremas:
Teorema 2: (Lei do cancelamento da multiplicação) Sejam a, b, c \in \mathbb{N}, \operatorname{com} c \neq 0, tais que a c=b c. Então a=b

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: a,b,c\in\mathbb{N} com c\neq 0 e a igualdade ac=bc. A pergunta é clara: mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente a=b. Vou usar apenas as propriedades básicas dos números naturais (fechamento da soma e multiplicação, propriedade distributiva, e que produto de naturais estritamente positivos é estritamente positivo).
Estratégia (curta e didática): provar por contradição. Ou seja, suponho que a\neq b e mostro que isso leva a uma contradição com ac=bc e c\neq0. Como a\neq b, existem exatamente duas possibilidades: a<b ou a>b. Vou tratar cada caso e em ambos obter uma impossibilidade, provando que a hipótese a\neq b é falsa e, portanto, a=b.

Passo 2

Propriedades que vou usar e explicar rapidinho:
  1. Distributividade: para quaisquer naturais x,y,z vale (x-y)z = xz - yz sempre que x\ge y (isto é, quando a subtração x-y está bem definida em \mathbb{N}). Isso vem da distributividade z\cdot x = z\cdot(y+(x-y)) = zy + z(x-y) e rearranjando.
  2. Produto de naturais estritamente positivos é estritamente positivo: se u>0 e v>0 então uv>0. Em particular, se u>0 e v\neq0 (lembrando que em \mathbb{N} “≠0” significa “positivo”), então uv>0.
  3. Se um produto de naturais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos: se uv=0 então u=0 ou v=0.
Vou aplicar essas propriedades nos dois casos.

Passo 3

Caso 1: suponha a<b. Então a subtração (b-a) está bem definida e (b-a)\in\mathbb{N} com (b-a)>0. Multiplicando essa diferença por c e usando a distributividade temos a identidade
(b-a)c = bc - ac.
Como o enunciado dá ac=bc, substituindo nesta equação obtemos
(b-a)c = bc - ac = 0.
Agora, pelo fato de que (b-a)>0 e c\neq0 (ou seja, c>0), o produto (b-a)c é estritamente positivo, por (2). Logo (b-a)c>0, o que contradiz (b-a)c=0. Portanto a hipótese a<b é impossível.

Passo 4

Caso 2: suponha a>b. De maneira análoga ao caso anterior, defina (a-b)\in\mathbb{N} com (a-b)>0. Pela distributividade temos
(a-b)c = ac - bc.
Usando ac=bc novamente, segue
(a-b)c = ac - bc = 0.
Mas como (a-b)>0 e c\neq0, temos (a-b)c>0, contradizendo (a-b)c=0. Logo a hipótese a>b também é impossível.

Passo 5

Tendo mostrado que nem a<b nem a>b são possíveis, a única alternativa que resta é a=b. Isso conclui a prova.

Resposta

a=b

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