Demonstre as propriedades da adição,
.
Lei do cancelamento:
Lei do cancelamento:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a Lei do cancelamento da adição, ou seja, mostrar que, para quaisquer
,
Informações dadas (que vamos usar): temos três naturais
e a hipótese
. A missão é deduzir
a partir dessa hipótese.
Passo 2
Objetos e fatos que vamos usar (explicados de forma didática, sem pular etapas):
-
Sucessor: para cada natural
existe o seu sucessor, denotado por . Pense em como no sentido intuitivo. Uma propriedade fundamental (uno dos axiomas de Peano) é que o sucessor é injetivo: Isso significa: se dois sucessores são iguais, então os antecessores eram iguais. É uma regra básica que vamos usar. -
Definição recursiva da adição (também padrão em teoria dos naturais):
Explicação: somar zero não altera o número; somar o sucessor de
(ou seja,
) a
é a mesma coisa que tomar o sucessor de
. Isso é exatamente a definição que permite provar coisas sobre adição por indução.
- Princípio da indução: para provar uma propriedade que depende de
, é comum provar o caso base ( ) e depois mostrar que, se a propriedade vale para , então vale para . Assim a propriedade vale para todo .
Vamos usar esses itens para construir a prova por indução em
.
Passo 3
Base da indução (
):
Partimos da hipótese
.
Pela definição da adição, para qualquer
vale
. Aplicando isso a
e a
obtemos
Logo, da hipótese
segue
Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese indutiva:
Suponha que para um dado
já sabemos que, sempre que
então automaticamente
. Esta é a hipótese que vamos usar para passar ao caso
.
Passo 5
Passo indutivo — mostrar que a propriedade vale para
:
Partimos da hipótese do passo que queremos provar:
Aplicamos a definição recursiva da adição
às duas somas. Assim
Agora usamos a propriedade de injetividade do sucessor (explicada no Passo 2): de
segue
Passo 6
Conclusão do passo indutivo:
Tendo obtido
a partir da hipótese
, aplicamos a hipótese indutiva (do Passo 4) que diz que essa igualdade implica
. Assim mostramos que, se a propriedade vale para
, então vale para
. Juntando com a base (
), pelo princípio da indução a propriedade vale para todo
.
Passo 7
Comentário didático-final e um exemplo rápido para fixar a ideia:
O núcleo da prova foi transformar
em
(pela definição da adição) e então usar que
é injetivo para “remover” o
, reduzindo o problema a uma igualdade com
em vez de
. Repetindo esse raciocínio (via indução) voltamos até o caso
, onde a igualdade dá imediatamente
.
Exemplo concreto e simples: se
então, pela definição,
e pela injetividade do sucessor obtemos
. Isso é o caso
da prova geral.