Demonstre as propriedades da adição, \forall m, n, p \in \mathbb{N}.
Lei do cancelamento: m+p=n+p \Rightarrow m=n

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a Lei do cancelamento da adição, ou seja, mostrar que, para quaisquer m,n,p \in \mathbb{N},
m+p = n+p \Rightarrow m = n.
Informações dadas (que vamos usar): temos três naturais m,n,p e a hipótese m+p=n+p. A missão é deduzir m=n a partir dessa hipótese.

Passo 2

Objetos e fatos que vamos usar (explicados de forma didática, sem pular etapas):
  • Sucessor: para cada natural a existe o seu sucessor, denotado por S(a). Pense em S(a) como a+1 no sentido intuitivo. Uma propriedade fundamental (uno dos axiomas de Peano) é que o sucessor é injetivo:
    S(a)=S(b) \Rightarrow a=b.
    Isso significa: se dois sucessores são iguais, então os antecessores eram iguais. É uma regra básica que vamos usar.
  • Definição recursiva da adição (também padrão em teoria dos naturais):
    a+0 = a \quad\text{para todo } a,
a+S(b) = S(a+b) \quad\text{para todo } a,b.
Explicação: somar zero não altera o número; somar o sucessor de b (ou seja, b+1) a a é a mesma coisa que tomar o sucessor de a+b. Isso é exatamente a definição que permite provar coisas sobre adição por indução.
  • Princípio da indução: para provar uma propriedade que depende de p, é comum provar o caso base ( p=0) e depois mostrar que, se a propriedade vale para p, então vale para S(p). Assim a propriedade vale para todo p.
Vamos usar esses itens para construir a prova por indução em p.

Passo 3

Base da indução ( p=0):
Partimos da hipótese m+0 = n+0.
Pela definição da adição, para qualquer x vale x+0 = x. Aplicando isso a m e a n obtemos
m+0 = m \quad\text{e}\quad n+0 = n.
Logo, da hipótese m+0 = n+0 segue
m = n.
Portanto a propriedade é verdadeira para p=0.

Passo 4

Hipótese indutiva:
Suponha que para um dado p\in\mathbb{N} já sabemos que, sempre que
m+p = n+p
então automaticamente m=n. Esta é a hipótese que vamos usar para passar ao caso S(p).

Passo 5

Passo indutivo — mostrar que a propriedade vale para S(p):
Partimos da hipótese do passo que queremos provar:
m+S(p) = n+S(p).
Aplicamos a definição recursiva da adição a+S(b)=S(a+b) às duas somas. Assim
S(m+p) = S(n+p).
Agora usamos a propriedade de injetividade do sucessor (explicada no Passo 2): de S(m+p)=S(n+p) segue
m+p = n+p.

Passo 6

Conclusão do passo indutivo:
Tendo obtido m+p = n+p a partir da hipótese m+S(p)=n+S(p), aplicamos a hipótese indutiva (do Passo 4) que diz que essa igualdade implica m=n. Assim mostramos que, se a propriedade vale para p, então vale para S(p). Juntando com a base ( p=0), pelo princípio da indução a propriedade vale para todo p\in\mathbb{N}.

Passo 7

Comentário didático-final e um exemplo rápido para fixar a ideia:
O núcleo da prova foi transformar m+S(p)=n+S(p) em S(m+p)=S(n+p) (pela definição da adição) e então usar que S(\cdot) é injetivo para “remover” o S, reduzindo o problema a uma igualdade com p em vez de S(p). Repetindo esse raciocínio (via indução) voltamos até o caso p=0, onde a igualdade dá imediatamente m=n.
Exemplo concreto e simples: se m+1 = n+1 então, pela definição, S(m)=S(n) e pela injetividade do sucessor obtemos m=n. Isso é o caso p=1 da prova geral.

Resposta

m=n

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