Demonstre as propriedades da multiplicação, \forall m, n, p \in \mathbb{N}.
\quad m . n \in \mathbb{N}, isto é, \mathbb{N} é fechado em relação multiplicação

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que a multiplicação de naturais permanece em naturais, isto é, provar que
\forall m,n,p \in \mathbb{N},\quad m\cdot n \in \mathbb{N}.
Informações dadas (que vou usar): m,n,p são números naturais ( \mathbb{N}). Não há mais informação explícita no enunciado; usarei a definição recursiva usual de multiplicação sobre \mathbb{N} e o princípio da indução matemática.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar — explico devagar porque é o ponto central.
Definição recursiva (usual) de multiplicação por um natural fixo m:
m\cdot 0 = 0
m\cdot (n+1) = m\cdot n + m
Aqui n+1 é o sucessor de n. Essa definição quer dizer: multiplicar por zero dá zero; multiplicar por n+1 é multiplicar por n e somar mais m.
Princípio da indução (em palavras): para provar uma propriedade P(n) para todo n\in\mathbb{N}, basta mostrar: (i) P(0) é verdadeira; (ii) para todo n, se P(n) é verdadeira então P(n+1) é verdadeira. Vou aplicar isso.
Antes de provar fechamento da multiplicação, preciso usar que a soma de naturais permanece natural (fechamento da soma). Vou provar essa propriedade primeiro como lema.

Passo 3

Lema (fechamento da adição): \forall a,b\in\mathbb{N},\; a+b\in\mathbb{N}.
Prova do lema por indução em b.
Base ( b=0): por definição de soma em \mathbb{N} temos
a+0 = a.
Como a\in\mathbb{N} por hipótese, segue que a+0\in\mathbb{N}. Logo P(0) é verdadeira.
Passo indutivo: suponha que para um certo b\in\mathbb{N} valha a+b\in\mathbb{N} (hipótese de indução). Precisamos mostrar a+(b+1)\in\mathbb{N}.
Pela definição recursiva da soma,
a+(b+1) = (a+b)+1,
ou seja, é o sucessor de a+b. Pela hipótese de indução sabemos que a+b\in\mathbb{N}; como o sucessor de qualquer natural é natural, concluímos que (a+b)+1\in\mathbb{N}. Portanto a+(b+1)\in\mathbb{N}.
Pela indução, o lema é válido para todo a,b\in\mathbb{N}: a soma de naturais é natural.

Passo 4

Agora provamos o fechamento da multiplicação: \forall m,n\in\mathbb{N},\; m\cdot n\in\mathbb{N}.
Fixe m\in\mathbb{N}. Vamos provar por indução em n que m\cdot n\in\mathbb{N}.
Base ( n=0): pela definição da multiplicação
m\cdot 0 = 0.
E 0\in\mathbb{N}, logo m\cdot 0\in\mathbb{N}. Assim P(0) é verdadeira.
Passo indutivo: suponha que para um certo n\in\mathbb{N} temos m\cdot n\in\mathbb{N} (hipótese de indução). Queremos mostrar m\cdot (n+1)\in\mathbb{N}.
Pela definição recursiva da multiplicação
m\cdot (n+1) = m\cdot n + m.
Pelo passo indutivo m\cdot n\in\mathbb{N} e pelo fato que m\in\mathbb{N} (fixado no início), aplicando o lema do Passo 3 (fechamento da soma) obtemos
m\cdot n + m \in \mathbb{N}.
Logo m\cdot (n+1)\in\mathbb{N}.
Pela indução sobre n, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N} e para todo m fixo. Como m era arbitrário, vale para todo par m,n\in\mathbb{N}.
Exemplo concreto (para intuir): calcule 3\cdot 2 pela definição:
3\cdot 0 = 0,\quad 3\cdot 1 = 3\cdot 0 + 3 = 0+3 = 3,\quad 3\cdot 2 = 3\cdot 1 + 3 = 3+3 = 6,
e cada um desses resultados é natural por repetição do argumento acima.

Passo 5

Conclusão: mostramos, usando a definição recursiva de multiplicação e o fechamento da soma (provado por indução), que para todo m,n\in\mathbb{N} o produto m\cdot n pertence a \mathbb{N}. Assim \mathbb{N} é fechado sob multiplicação.

Resposta

\forall m,n\in\mathbb{N},\; m\cdot n\in\mathbb{N}.

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