Prove que
. Seja
tal que
, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas na estrutura do grupo aditivo
: provar que o inverso de
é ele mesmo, isto é
e depois mostrar que, se um inteiro
satisfaz
então necessariamente
Para isso vamos usar apenas os axiomas de grupo abeliano: existência de elemento neutro
, existência de inverso aditivo, associatividade, comutatividade e o lema de cancelamento (que decorre dessas propriedades).
Passo 2
Prova do lema de cancelamento: se
então
.
Somamos o inverso de aos dois lados:
Somamos o inverso de
Pela associatividade isto vira
Como
e
é neutro, obtemos
Passo 3
Prova de
.
Por definição de inverso aditivo temos
Por definição de inverso aditivo temos
e pelo papel de
como elemento neutro também
Então
Aplicando o lema de cancelamento com
, conclui-se
Passo 4
Prova de que, se
, então
.
Partindo de , somamos
em ambos os lados:
Partindo de
Mas o lado direito é exatamente
, logo
Por outro lado sabemos que
Assim
Aplicando o lema de cancelamento com
, obtemos
Resposta
Ficou demonstrado que