Prove que 0=-0. Seja a in Z tal que a=-a, prove que a=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas na estrutura do grupo aditivo Z: provar que o inverso de 0 é ele mesmo, isto é
0 = -0,
e depois mostrar que, se um inteiro a satisfaz
a = -a,
então necessariamente
a = 0
Para isso vamos usar apenas os axiomas de grupo abeliano: existência de elemento neutro 0, existência de inverso aditivo, associatividade, comutatividade e o lema de cancelamento (que decorre dessas propriedades).

Passo 2

Prova do lema de cancelamento: se x+y = x+z então y = z.
Somamos o inverso de x aos dois lados:
(-x)+(x+y) = (-x)+(x+z)
Pela associatividade isto vira
((-x)+x)+y = ((-x)+x)+z
Como (-x)+x = 0 e 0 é neutro, obtemos
0 + y = 0 + z implies y = z

Passo 3

Prova de 0 = -0.
Por definição de inverso aditivo temos
0 + (-0) = 0,
e pelo papel de 0 como elemento neutro também
0 + 0 = 0
Então
0 + 0 ;=; 0 + (-0)
Aplicando o lema de cancelamento com x=0, conclui-se
0 = -0

Passo 4

Prova de que, se a = -a, então a = 0.
Partindo de a = -a, somamos a em ambos os lados:
a + a = a + (-a)
Mas o lado direito é exatamente 0, logo
a + a = 0
Por outro lado sabemos que
a + 0 = a
Assim
a + a = a + 0
Aplicando o lema de cancelamento com x = a, obtemos
a = 0

Resposta

Ficou demonstrado que
0 = -0 e se a = -a em Z, então a = 0 ã

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