Seja a in Z, prove que a cdot 0+a cdot 0=0+a cdot 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em Z e para todo ainZ, vale
acdot 0 + acdot 0 ;=; 0 + acdot 0
Vamos usar as propriedades de monóide abeliano sob adição (identidade 0) e a propriedade distributiva do produto em relação à adição.

Passo 2

Pela distributividade à esquerda temos
acdot(0 + 0) ;=; acdot 0 + acdot 0

Passo 3

Como 0 é elemento neutro da adição, sabe-se que
0 + 0 = 0
Substituindo em acdot(0+0), obtemos
acdot(0+0) = acdot 0
Logo,
acdot 0 + acdot 0 = acdot 0

Passo 4

Novamente pelo fato de 0 ser o neutro aditivo, para qualquer xinZ vale
0 + x = x
Em particular, para x = acdot 0 temos
0 + acdot 0 = acdot 0

Passo 5

Como ambos acdot 0 + acdot 0 e 0 + acdot 0 são iguais a acdot 0, concluímos
acdot 0 + acdot 0 = 0 + acdot 0

Resposta

acdot 0 + acdot 0 = 0 + acdot 0

Exercícios relacionados