Prove: Sejam A e B conjuntos não-vazios. Se A e B são disjuntos, então A e B não são comparáveis.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz: “Prove que, se e são dois conjuntos não-vazios e disjuntos, então eles não são comparáveis.”
Conteúdo: teoria de conjuntos elementar.
O que vamos precisar:
  • Definição de “conjuntos disjuntos”: .
  • Definição de “comparáveis” no sentido de inclusão: dois conjuntos são comparáveis se ou ou .
  • Definição de “subconjunto”: significa “para todo , se então ”.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro que não pode acontecer .
  1. Suponha, por absurdo, que .
  2. Como é não-vazio, existe pelo menos um elemento .
  3. Se , então desse segue .
  4. Mas então está em e em , ou seja, .
  5. Isso contradiz a hipótese de disjunção, .
  6. Logo não pode ser .

Passo 3

Agora mostramos que não pode acontecer .
  1. Suponha, por absurdo, que .
  2. Como também é não-vazio, existe algum .
  3. Se , então .
  4. Então , contrário a .
  5. Conflito com a disjunção.
  6. Logo não pode ser .

Resposta

Como não vale nem nem , concluímos que e não são comparáveis.

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