Prove: Sejam
e
conjuntos não-vazios. Se
e
são disjuntos, então
e
não são comparáveis.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz: “Prove que, se
e
são dois conjuntos não-vazios e disjuntos, então eles não são comparáveis.”
Conteúdo: teoria de conjuntos elementar.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de conjuntos elementar.
O que vamos precisar:
- Definição de “conjuntos disjuntos”:
. - Definição de “comparáveis” no sentido de inclusão: dois conjuntos são comparáveis se ou
ou . - Definição de “subconjunto”:
significa “para todo , se então ”.
Passo 2
Vamos mostrar primeiro que não pode acontecer
.
- Suponha, por absurdo, que
. - Como
é não-vazio, existe pelo menos um elemento . - Se
, então desse segue . - Mas então
está em e em , ou seja, . - Isso contradiz a hipótese de disjunção,
. - Logo não pode ser
.
Passo 3
Agora mostramos que não pode acontecer
.
- Suponha, por absurdo, que
. - Como
também é não-vazio, existe algum . - Se
, então . - Então
, contrário a . - Conflito com a disjunção.
- Logo não pode ser
.
Resposta
Como não vale nem
nem
, concluímos que
e
não são comparáveis.