Prove que, sendo
, com
, e sendo
as raízes, então
.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente prove que uma função quadrática
, onde
, pode ser escrita como
, sendo
e
as raízes dessa função. Vamos usar conceitos de fatoração de polinômios e propriedades das raízes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as raízes
e
de um polinômio são os valores de
que fazem
. Então, se
e
são raízes de
, podemos escrever
como um produto de fatores que se anulam nessas raízes. Isso nos leva a escrever
.
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão
para ver se ela realmente corresponde à forma original de
. Primeiro, multiplicamos os dois binômios:
Então, multiplicando por
:
Passo 4
Agora, vamos comparar essa expressão expandida com a forma original de
. Isso nos dá:
Comparando os coeficientes, temos:
Passo 5
Essas igualdades nos mostram que, se
e
são raízes de
, então a função pode ser fatorada como
. Portanto, provamos que:
Resposta
Portanto, mostramos que
quando
e
são as raízes de
com
.