Prove que, sendo g(x)=a x^2+b x+c, com a neq 0, e sendo x^prime e x^prime prime as raízes, então g(x)=a(x-x^prime)(x-x^prime prime).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente prove que uma função quadrática g(x) = a x^2 + b x + c , onde a neq 0 , pode ser escrita como g(x) = a(x - x')(x - x'') , sendo x' e x'' as raízes dessa função. Vamos usar conceitos de fatoração de polinômios e propriedades das raízes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as raízes x' e x'' de um polinômio são os valores de x que fazem g(x) = 0 . Então, se x' e x'' são raízes de g(x) , podemos escrever g(x) como um produto de fatores que se anulam nessas raízes. Isso nos leva a escrever g(x) = a(x - x')(x - x'') .

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão a(x - x')(x - x'') para ver se ela realmente corresponde à forma original de g(x) . Primeiro, multiplicamos os dois binômios:
(x - x')(x - x'') = x cdot x - x cdot x'' - x' cdot x + x' cdot x'' = x^2 - (x' + x'')x + x' x''
Então, multiplicando por a :
a(x - x')(x - x'') = a x^2 - a(x' + x'')x + a x' x''

Passo 4

Agora, vamos comparar essa expressão expandida com a forma original de g(x) = a x^2 + b x + c . Isso nos dá:
a x^2 + b x + c = a x^2 - a(x' + x'')x + a x' x''
Comparando os coeficientes, temos:
b = -a(x' + x'') e c = a x' x''

Passo 5

Essas igualdades nos mostram que, se x' e x'' são raízes de g(x) , então a função pode ser fatorada como a(x - x')(x - x'') . Portanto, provamos que:
g(x) = a(x - x')(x - x'')

Resposta

Portanto, mostramos que g(x) = a(x - x')(x - x'') quando x' e x'' são as raízes de g(x) = a x^2 + b x + c com a neq 0 .

Exercícios relacionados