Verifique se sumn=1^infty 3raizn^3+n converge ou não.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 3raizn^3+n
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, usaremos o teste de comparação com uma p-série.

Passo 2

Lembrando que a p-série
sumn=1^infty 1n^p
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, vamos comparar com a p-série de expoente p=tfrac32, que de fato converge porque tfrac32>1.

Passo 3

Para n>=1 vale
n^3+n >= n^3 Longrightarrow raizn^3+n >= n^3/2
Então o termo da nossa série satisfaz
0 <= 3raizn^3+n <= 3n^3/2
Como sumn=1^infty3n^3/2=3sumn=1^infty1n^3/2 converge (p-série com p=tfrac32), pelo teste de comparação direta a série dada também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3raizn^3+n converge.

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