Prove que a solução geral de X^prime=[cc-1 & -1 -1 & 1] X+[l1 1] t^2+[c4 -6] t+[c-1 5] no intervalo ]-infty, infty[ é X=C1[c1 -1-raiz2] e^raiz2 t+C2[c1 -1+raiz2] e^-raiz2 t+[l1 0] t^2+[l1 0].

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
X' = A,X + f(t),
onde
A = -1 & -1-1 & 1, f(t) = 11t^2 + 4-6t + -15
O conteúdo é solução de sistemas lineares pela soma da solução homogênea (autovalores e autovetores) mais uma solução particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea Xh. Os autovalores lambda de A vêm de
det(A - lambda I) = det-1-lambda & -1-1 & 1-lambda = lambda^2 - 2 = 0 ;Longrightarrow; lambda = pmraiz2
Para lambda = raiz2, um autovetor é
(A - raiz2,I)v = 0 ;Longrightarrow; v1 = 1-1-raiz2
Para lambda=-raiz2, obtemos
v2 = 1-1+raiz2
Logo
Xh(t) = C1,v1,e^raiz2,t + C2,v2,e^-raiz2,t

Passo 3

Como f(t) é polinomial de grau 2, buscamos uma solução particular da forma
Xp(t) = a,t^2 + b,t + c,
com a,b,cinR^2. Então
Xp'(t)=2a,t + b,
e na equação X'=AX+f agrupamos termos em t^2,t^1,t^0.

Passo 4

Agrupando coeficientes de t^2, t^1 e constantes obtemos três sistemas:
1. Coeficiente de t^2:
0 = A,a + 11 Longrightarrow A,a = -11 ;Rightarrow; a = 10
2. Coeficiente de t^1:
2a = A,b + 4-6 Longrightarrow A,b = 210 - 4-6 = -26 ;Rightarrow; b = -24
3. Termo constante:
b = A,c + -15 Longrightarrow A,c = -24 - -15 = -1-1 ;Rightarrow; c = 10
Portanto
Xp(t) = 10t^2 + -24t + 10

Passo 5

Somando as partes homogênea e particular chega-se \u00e0 solu\u00e7\u00e3o geral:
X(t) = C11-1-raiz2e^raiz2,t + C21-1+raiz2e^-raiz2,t + 10t^2 + -24t + 10
Observa\u00e7\u00e3o: o termo em t n\u00e3o pode desaparecer; se no enunciado n\u00e3o aparece, provavelmente h\u00e1 um erro de digita\u00e7\u00e3o.

Resposta

X(t) = C11-1-raiz2e^raiz2,t + C21-1+raiz2e^-raiz2,t + 10t^2 + -24t + 10

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