Sejam A, B, C inteiros positivos tais que B C divide A-B-C. Mostre que B C divide A^n-B^n-C^n para todo n >= 1.

Passo 1

Resumindo: temos inteiros positivos A,B,C tais que
BC mid A - B - C,
e queremos mostrar que
BC mid A^n - B^n - C^n
para todo n>=1. Vamos usar indução em n e manipular congruências módulo BC.

Passo 2

(Base da indução) Para n=1 temos
A^1 - B^1 - C^1 = A - B - C,
que é divisível por BC exatamente pela hipótese do problema. Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que para algum n>=1 já tenhamos
BC mid A^n - B^n - C^n,
isto é,
A^n - B^n - C^n equiv 0 pmodBC
Queremos mostrar que então
BC mid A^n+1 - B^n+1 - C^n+1

Passo 4

Multiplicando a congruência indutiva por A, obtemos
Al(A^n - B^n - C^nr) = A^n+1 - AB^n - AC^n equiv 0 pmodBC
Logo
A^n+1 - B^n+1 - C^n+1 equiv AB^n + AC^n - B^n+1 - C^n+1 pmodBC

Passo 5

Como BCmid A-B-C, temos
A equiv B + C pmodBC
Então
AB^n equiv (B+C)B^n = B^n+1 + CB^n, AC^n equiv (B+C)C^n = BC^n + C^n+1 pmodBC
Substituindo,
AB^n + AC^n - B^n+1 - C^n+1 equiv l(B^n+1+CB^nr) + l(BC^n+C^n+1r) - B^n+1 - C^n+1 = CB^n + BC^n = BC,(B^n-1+C^n-1)
Logo esse resíduo é múltiplo de BC, ou seja
A^n+1 - B^n+1 - C^n+1 equiv 0 pmodBC
Isto completa a etapa indutiva.

Resposta

Portanto, por indução, BC divide A^n - B^n - C^n para todo n>=1.

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