Seja R a região do plano x y delimitada pelas curvas y=raizx+1, y=-1, x=-1, x=1. Seja S o sólido obtido por revolução de R em torno da reta x=-2. Escreva, sem calcular, as integrais que representam:
o volume de S, pelo método das cascas cilíndricas

Passo 1

O enunciado define a região R no plano xy limitada pelas curvas
y=raizx+1,;y=-1,;x=-1,;x=1
e pede o volume do sólido S obtido ao girar R em torno da reta x=-2, usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas usamos fatias verticais em x.
  • O raio da casca, medido até a reta x=-2, é
r(x) = x - (-2) = x + 2
  • A altura da casca é a diferença entre as funções superior e inferior em y:
h(x) = raizx+1 - (-1) = raizx+1 + 1
  • A espessura da casca é ,dx, e x percorre todo o intervalo de -1 até 1.

Passo 3

A fórmula do volume por cascas cilíndricas é
V = integralx=-1^1 2pi,r(x),h(x),dx
Substituindo r(x) e h(x), obtemos
V = integral-1^1 2pi,(x+2)l(raizx+1+1r),dx

Resposta

V = integral-1^1 2pi,(x+2)l(raizx+1+1r),dx

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