Resolver as seguintes equações irracionais
raiz5 x-1=1+raizx+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação irracional raiz5x-1 = 1 + raizx+2. O conteúdo aqui é resolução de equações com raízes, para isso precisamos: encontrar o domínio, isolar termos, elevar ao quadrado cuidando de possíveis raízes extraviadas e checar as soluções no final.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da equação. Para raiz5x-1 ser real, precisamos de 5x - 1 >= 0, ou seja, x >= tfrac15. Para raizx+2 ser real, precisamos de x + 2 >= 0, ou seja, x >= -2. Combinando, o domínio é x >= tfrac15.

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a primeira raiz:
l(raiz5x-1r)^2 = l(1 + raizx+2r)^2
Isso dá
5x - 1 = 1 + 2raizx+2 + (x+2)
e, ao simplificar, obtemos
5x - 1 = x + 3 + 2raizx+2
4x - 4 = 2raizx+2
Dividindo por 2:
2x - 2 = raizx+2

Passo 4

Note que raizx+2 é não negativo, logo o lado esquerdo exige 2x - 2 >= 0, isto é, x >= 1. Combinando com o domínio anterior, ficamos com x >= 1.

Passo 5

Em seguida, elevamos de novo ao quadrado para eliminar a raiz restante:
(2x - 2)^2 = (raizx+2)^2
o que leva a
4x^2 - 8x + 4 = x + 2
Reescrevendo como equação do 2º grau:
4x^2 - 9x + 2 = 0

Passo 6

Calculando o discriminante: De. As raízes são
x = 9 pm 78
ou seja, x = 2 ou x = tfrac14.

Passo 7

Só podemos aceitar soluções em x >= 1, logo descartamos x = tfrac14 e ficamos com x = 2. Agora é só checar no original: raiz5cdot2 - 1 = raiz9 = 3 e 1 + raiz2+2 = 1 + 2 = 3. Está certo!

Resposta

x = 2

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