Sejam
subespaços vetorias de
tais que todos eles têm dimensão finita com
Prove que
Passo 1
O enunciado nos dá dois subespaços vetoriais
, todos de dimensão finita, tais que
A tarefa é mostrar que
Vamos usar a definição de soma direta e a fórmula de dimensão para soma de subespaços.
Passo 2
Lembrando que
significa, por definição,
Além disso, pela teoria de espaços vetoriais, temos para quaisquer subespaços
de dimensão finita:
Passo 3
(“
”) Suponha
. Então, pela definição de soma direta, já se tem imediatamente
Passo 4
(“
”) Suponha agora que
Então
e pela fórmula de dimensão:
Como
é subespaço de
com mesma dimensão de
, segue
. Juntando isso com
, conclui-se
.