Sejam F_{1}, F_{2} subespaços vetorias de V tais que todos eles têm dimensão finita com
\operatorname{dim} F_{1}+\operatorname{dim} F_{2}=\operatorname{dim} V
Prove que F_{1} \oplus F_{2}=V \Longleftrightarrow F_{1} \cap F_{2}=\{\overrightarrow{0}\}

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços vetoriais F_{1},F_{2}\subseteq V, todos de dimensão finita, tais que
\dim F_{1} + \dim F_{2} = \dim V.
A tarefa é mostrar que
F_{1}\oplus F_{2}=V \quad\Longleftrightarrow\quad F_{1}\cap F_{2}=\{\mathbf{0}\}.
Vamos usar a definição de soma direta e a fórmula de dimensão para soma de subespaços.

Passo 2

Lembrando que F_{1}\oplus F_{2}=V significa, por definição,
  1. F_{1}+F_{2}=V
  2. F_{1}\cap F_{2}=\{\mathbf{0}\}.
Além disso, pela teoria de espaços vetoriais, temos para quaisquer subespaços F_{1},F_{2} de dimensão finita:
\dim\bigl(F_{1}+F_{2}\bigr) =\dim F_{1}+\dim F_{2}-\dim\bigl(F_{1}\cap F_{2}\bigr).

Passo 3

(“ \Longrightarrow”) Suponha F_{1}\oplus F_{2}=V. Então, pela definição de soma direta, já se tem imediatamente
F_{1}\cap F_{2}=\{\mathbf{0}\}.

Passo 4

(“ \Longleftarrow”) Suponha agora que
F_{1}\cap F_{2}=\{\mathbf{0}\}.
Então \dim(F_{1}\cap F_{2})=0 e pela fórmula de dimensão:
\dim\bigl(F_{1}+F_{2}\bigr) =\dim F_{1}+\dim F_{2}-0 =\dim V.
Como F_{1}+F_{2} é subespaço de V com mesma dimensão de V, segue F_{1}+F_{2}=V. Juntando isso com \,F_{1}\cap F_{2}=\{\mathbf{0}\}, conclui-se F_{1}\oplus F_{2}=V.

Resposta

F_{1}\oplus F_{2}=V se, e somente se, F_{1}\cap F_{2}=\{\mathbf{0}\}.

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