Prove que T é uma transformação linear:
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(3 x,-2 y, x-y).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
Tcolon R^2toR^3, T(x,y)=(3x,,-2y,;x-y)
é uma transformação linear.
Conteúdo: definição de transformação linear, que exige duas propriedades para todo u,vinR^2 e todo escalar lambdainR:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade).
  2. T(lambda u)=lambda,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

(Propriedade da aditividade)
Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em R^2. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
Aplicando T a u+v, obtemos
T(u+v) = Tl(x1+x2,;y1+y2r) = l(3(x1+x2),,-2(y1+y2),;(x1+x2)-(y1+y2)r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (3x1,,-2y1,;x1-y1) + (3x2,,-2y2,;x2-y2) = l(3x1+3x2,,-2y1-2y2,;(x1-y1)+(x2-y2)r)
Como
3(x1+x2)=3x1+3x2, -2(y1+y2)=-2y1-2y2, (x1+x2)-(y1+y2)=(x1-y1)+(x2-y2),
concluímos
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 3

(Propriedade da homogeneidade)
Seja lambdainR e u=(x,y)inR^2. Então
lambda u = (lambda x,;lambda y),
e
T(lambda u) = T(lambda x,;lambda y) = l(3(lambda x),,-2(lambda y),;(lambda x)-(lambda y)r) = l(lambdacdot 3x,;lambdacdot(-2y),;lambda(x-y)r)
Isto é exatamente
lambda,(3x,,-2y,;x-y) = lambda,T(x,y)
Logo
T(lambda u)=lambda,T(u)

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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