Seja T: R^2 R^2 a transformação linear definida por T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y), R^2 com o produto interno usual.
Determine N(T) e N(T)^perp

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (3x - y,,-3x + y)
no espaço R^2 com o produto interno usual lang<= (x,y),(u,v)rang<= = xu+yv.
Precisamos encontrar o núcleo
N(T) = (x,y)mid T(x,y)=(0,0)
e, em seguida, seu ortogonal
N(T)^perp = (u,v)mid lang<=(u,v),(x,y)rang<==0 forall,(x,y)in N(T)

Passo 2

Para achar
As duas equações são equivalentes a (y=3x]. Logo

Passo 3

Para determinar N(T)^perp, tomamos um vetor genérico (u,v) e exigimos
lang<=(u,v),(1,3)rang<= = ucdot1 + vcdot3 = 0 Long<=ftrightarrow u + 3v = 0 Long<=ftrightarrow u = -3v
Assim
N(T)^perp = (u,v)mid u=-3v = s(-3,1)mid sinR =s(3,-1)mid sinR

Resposta

N(T)=t(1,3)mid tinR
N(T)^perp=s(3,-1)mid sinR

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