Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty 1+sen(n)10^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência absoluta da série
sumn=1^infty1+sin(n)10^n
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, mais especificamente o teste da raiz (ou razão).

Passo 2

Definimos
an = 1+sin(n)10^n,
de modo que
lvert anrvert = lvert 1+sin(n)rvert10^n
Como lvert 1+sin(n)rvert varia entre 0 e 2, temos
0 <= lvert 1+sin(n)rvert <= 2
Pelo teste da raiz, calculamos
limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert = limsupntoinftyraiz[n]lvert 1+sin(n)rvert10
Como lvert 1+sin(n)rvert é limitada, resulta
limntoinftyraiz[n]lvert 1+sin(n)rvert = 1

Passo 3

Portanto
limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert =110<1,
e o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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