Prove o Teorema de De Morgan generalizado: Seja Agamma mid gamma in Gamma uma família arbitrária de conjuntos. Então:
(cupgamma in Gamma Agamma)^c=capgamma in Gamma Agamma^c

Passo 1

Beleza, aqui a parada é provar o Teorema de De Morgan no geral, ou seja, pra uma coleção qualquer de conjuntos l(cupgammainGamma Agammar)^c ;=; capgammainGamma Agamma^c . A gente quer mostrar que o complemento da união de todo mundo é igual à interseção dos complementos:
Conteúdo: teoria de conjuntos (união, interseção, complemento) e prova por dupla inclusão. Você vai precisar saber o que significa “ está na união” e “ está na interseção” e usar a tal propriedade de extensionalidade (mostrar cada lado está contido no outro).

Passo 2

Mostrar x notin cupgammainGamma Agamma .
  1. Pegue um x in capgammainGamma Agamma^c qualquer em .
  2. Por definição de complemento, isso significa que
  3. E “ ” quer dizer que, pra todo , .
  4. Se , então . Como isso vale para cada , tem-se
Pronto, fizemos .

Passo 3

Agora a outra inclusão:
x notin cupgammainGamma Agamma .
  1. Pegue .
  2. Por definição de interseção, para todo , .
  3. Então, para todo , .
  4. Isso significa que não está em nenhum dos , ou seja,
  5. Logo .
    Assim concluímos .

Resposta

Como mostramos as duas inclusões, temos de fato
l(cupgammainGamma Agammar)^c ;=; capgammainGamma Agamma^c

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