Prove o Teorema de De Morgan generalizado: Seja
uma família arbitrária de conjuntos. Então:
Passo 1
Beleza, aqui a parada é provar o Teorema de De Morgan no geral, ou seja, pra uma coleção qualquer de conjuntos
. A gente quer mostrar que o complemento da união de todo mundo é igual à interseção dos complementos:
Conteúdo: teoria de conjuntos (união, interseção, complemento) e prova por dupla inclusão. Você vai precisar saber o que significa “
está na união” e “
está na interseção” e usar a tal propriedade de extensionalidade (mostrar cada lado está contido no outro).
Passo 2
Mostrar
.
- Pegue um
qualquer em . - Por definição de complemento, isso significa que
- E “
” quer dizer que, pra todo , . - Se
, então . Como isso vale para cada , tem-se
Pronto, fizemos
.
Passo 3
Agora a outra inclusão:
.
- Pegue
. - Por definição de interseção, para todo
, . - Então, para todo
, . - Isso significa que
não está em nenhum dos , ou seja, - Logo
.
Assim concluímos.
Resposta
Como mostramos as duas inclusões, temos de fato