Prove o teorema de Poynting. A partir das equações de Maxwell, derive a expressão para o vetor de Poynting
e demonstre que ele representa o fluxo de energia eletromagnética. Integre sobre um volume fechado para obter a conservação de energia, incluindo termos de trabalho e densidade de energia eletromagnética.
Passo 1
O objetivo é mostrar como, a partir das equações de Maxwell, nasce a expressão do vetor de Poynting
e provar que ele fornece o fluxo de energia eletromagnética. Vamos usar as equações de Maxwell na forma diferencial e um identidade vetorial para chegar a uma lei de conservação local de energia.
Passo 2
Escrevemos as duas equações de Maxwell sem cargas livres variando no tempo (forma SI):
A ideia é combinar essas duas equações de modo a obter um termo
.
Passo 3
Usamos a identidade vetorial
Substituindo as rotacionais de
e
pelas equações de Maxwell:
Isto é,
Dividindo tudo por
e reorganizando:
Passo 4
Reconhecemos que
Definimos então
Substituindo essas definições na equação do passo anterior obtemos a forma local da conservação de energia eletromagnética:
O termo
é a potência por unidade de volume que o campo elétrico faz sobre as cargas.
Passo 5
Para ver a conservação global, integramos em um volume fechado
e usamos o teorema da divergência:
Aqui
– é a variação da energia armazenada no campo;
– é o fluxo de energia eletromagnética saindo do volume;
– é a potência entregue às cargas dentro de
.
–
–
–
Resposta
Derivamos que o vetor de Poynting
é o fluxo de energia eletromagnética, e que a lei integral de conservação de energia é