Prove o teorema de Poynting. A partir das equações de Maxwell, derive a expressão para o vetor de Poynting \vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}} \vec{E} \times \vec{B} e demonstre que ele representa o fluxo de energia eletromagnética. Integre sobre um volume fechado para obter a conservação de energia, incluindo termos de trabalho e densidade de energia eletromagnética.

Passo 1

O objetivo é mostrar como, a partir das equações de Maxwell, nasce a expressão do vetor de Poynting
\vec{S} = \frac{1}{\mu_{0}}\,\vec{E}\times\vec{B}
e provar que ele fornece o fluxo de energia eletromagnética. Vamos usar as equações de Maxwell na forma diferencial e um identidade vetorial para chegar a uma lei de conservação local de energia.

Passo 2

Escrevemos as duas equações de Maxwell sem cargas livres variando no tempo (forma SI):
\boxed{\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}} \quad,\quad \boxed{\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J} + \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}
A ideia é combinar essas duas equações de modo a obter um termo \nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B}).

Passo 3

Usamos a identidade vetorial
\nabla\cdot\bigl(\vec{E}\times\vec{B}\bigr) = \vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{E}) \;-\;\vec{E}\cdot(\nabla\times\vec{B}).
Substituindo as rotacionais de \vec{E} e \vec{B} pelas equações de Maxwell:
\vec{B}\cdot\Bigl(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\Bigr) \;-\; \vec{E}\cdot\Bigl(\mu_{0}\,\vec{J}+\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\Bigr) \;=\;\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B}).
Isto é,
-\,\vec{B}\cdot\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \;-\; \mu_{0}\,\vec{E}\cdot\vec{J} \;-\; \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\vec{E}\cdot\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \;=\; \nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B}).
Dividindo tudo por \mu_{0} e reorganizando:
-\frac{1}{\mu_{0}}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B}) \;-\;\vec{E}\cdot\vec{J} \;-\;\varepsilon_{0}\,\vec{E}\cdot\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \;-\;\frac{1}{\mu_{0}}\vec{B}\cdot\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} =0.

Passo 4

Reconhecemos que
\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\tfrac12\,\varepsilon_{0}E^{2}+\tfrac12\,\frac{B^{2}}{\mu_{0}}\Bigr) =\varepsilon_{0}\,\vec{E}\cdot\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \;+\;\frac{1}{\mu_{0}}\,\vec{B}\cdot\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
Definimos então
\boxed{u_{\text{em}} = \frac12\,\varepsilon_{0}E^{2}+\frac12\,\frac{B^{2}}{\mu_{0}}} \quad,\quad \boxed{\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\vec{E}\times\vec{B}}.
Substituindo essas definições na equação do passo anterior obtemos a forma local da conservação de energia eletromagnética:
\frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} \;+\;\nabla\cdot\vec{S} \;=\;-\,\vec{E}\cdot\vec{J}.
O termo -\vec{E}\cdot\vec{J} é a potência por unidade de volume que o campo elétrico faz sobre as cargas.

Passo 5

Para ver a conservação global, integramos em um volume fechado V e usamos o teorema da divergência:
\int_{V}\frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t}\,dV \;+\; \int_{V}\nabla\cdot\vec{S}\,dV = -\,\int_{V}\vec{E}\cdot\vec{J}\,dV \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\!\int_{V}u_{\text{em}}\,dV \;+\; \oint_{\partial V}\vec{S}\cdot d\vec{A} = -\,\int_{V}\vec{E}\cdot\vec{J}\,dV.
Aqui
\displaystyle\frac{d}{dt}\int_{V}u_{\text{em}}\,dV é a variação da energia armazenada no campo;
\displaystyle\oint_{\partial V}\vec{S}\cdot d\vec{A} é o fluxo de energia eletromagnética saindo do volume;
\displaystyle\int_{V}\vec{E}\cdot\vec{J}\,dV é a potência entregue às cargas dentro de V.

Resposta

Derivamos que o vetor de Poynting
\boxed{\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\,\vec{E}\times\vec{B}}
é o fluxo de energia eletromagnética, e que a lei integral de conservação de energia é
\frac{d}{dt}\!\int_{V}\!u_{\text{em}}\,dV \;+\; \oint_{\partial V}\!\vec{S}\cdot d\vec{A} = -\,\int_{V}\!\vec{E}\cdot\vec{J}\,dV.

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