Prove that integral0^infty t Jn(t) d t=n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
integral0^infty t,Jn(t),dt = n
O conteúdo principal envolve a transformada de Laplace da função de Bessel Jn e a propriedade de que
integral0^infty t,Jn(t),dt = -ddsl[integral0^infty e^-s tJn(t),dtr]s=0

Passo 2

É conhecido que, para s>0,
Ln(s);=;integral0^infty e^-s t,Jn(t),dt ;=;l(raiz1+s^2-sr)^nraiz1+s^2
Como
partialpartial s,e^-s t = -,t,e^-s t,
segue
integral0^infty t,Jn(t),dt = -,Ln'(0)

Passo 3

Defina
a(s)=raiz1+s^2, b(s)=a(s)-s
Então
Ln(s)=b(s)^na(s), a'(s)=sraiz1+s^2, b'(s)=a'(s)-1=-b(s)a(s)
Aplicando a regra do quociente,
Ln'(s) = n,b(s)^n-1,b'(s),a(s);-;b(s)^n,a'(s)a(s)^2 = -,b(s)^na(s)^2l(n+sa(s)r)

Passo 4

Basta avaliar em s=0. Note que
a(0)=1, b(0)=1-0=1
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integral0^infty t,Jn(t),dt = -,Ln'(0) = 1^nl(n+01r) = n

Resposta

integral0^infty t,Jn(t),dt = n

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