Prove que toda função z=f(x, y) diferenciável no ponto ( x0, y0 ) é contínua nesse ponto. [Dica: Verifique que lim (h, k) (0,0) f(x0+h, y0+k)-f(x0, y0)=0.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se uma função z=f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) então ela é contínua ali. O conteúdo que vamos usar é a definição de diferenciabilidade em Bbb R^2: existe uma aplicação linear L(h,k)=A,h+B,k (com A=fx(x0,y0), B=fy(x0,y0)) e um resto R(h,k) tal que
f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)=L(h,k)+R(h,k)
e
lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0

Passo 2

Escrevemos explicitamente a diferença:
f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0) = A,h + B,k + R(h,k),
onde A=fx(x0,y0) e B=fy(x0,y0), e R(h,k) é o termo que satisfaz lim(h,k)to(0,0)R(h,k)/raizh^2+k^2=0.

Passo 3

Vamos estimar o valor absoluto dessa diferença. Seja rho=raizh^2+k^2. Então
l|A,h+B,kr|<= |A|,|h|+|B|,|k|<=l(|A|+|B|r)rho
Por outro lado, como R(h,k)=o(rho), dado qualquer varepsilon>0 existe de<a>0 tal que se rho<de<a então
|R(h,k)|<varepsilon,rho

Passo 4

Para rho<de<a temos
l|f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)r| <=(|A|+|B|)rho+varepsilon,rho =(|A|+|B|+varepsilon),rho
Como rhoto0 quando (h,k)to(0,0), o lado direito tende a zero. Logo
lim(h,k)to(0,0)l[f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)r]=0,
o que é exatamente a definição de continuidade de f em (x0,y0).

Resposta

Toda função diferenciável em (x0,y0) é contínua em (x0,y0).

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