Prove que toda função diferenciável no ponto ( ) é contínua nesse ponto. [Dica: Verifique que .]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se uma função é diferenciável em então ela é contínua ali. O conteúdo que vamos usar é a definição de diferenciabilidade em : existe uma aplicação linear (com , ) e um resto tal que
e
Passo 2
Escrevemos explicitamente a diferença:
onde e , e é o termo que satisfaz .
Passo 3
Vamos estimar o valor absoluto dessa diferença. Seja . Então
Por outro lado, como R(h,k)=o(rho), dado qualquer varepsilon>0 existe de<a>0 tal que se rho<de<a então