Use a Regra da Cadeia para determinar d u / d t ou partial u / partial s e partial u / partial t.
u=e^x+2 y, x=s / t, y=t / s.

Passo 1

O enunciado dá a função composta u(s,t) = e^{x+2y} com x = s/t e y = t/s e pede ∂u/∂s e ∂u/∂t usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Precisamos da regra da cadeia para derivadas parciais: se u = u(x,y), então
partial upartial s = partial upartial xpartial xpartial s + partial upartial ypartial ypartial s,
partial upartial t = partial upartial xpartial xpartial t + partial upartial ypartial ypartial t

Passo 3

Calculamos primeiro partial u/partial x e partial u/partial y conhecendo u(x,y) = e^{x+2y}:
partial upartial x = e^x+2y,
partial upartial y = 2,e^x+2y

Passo 4

Agora derivamos x = s/t e y = t/s em relação a s e t:
partial xpartial s = 1t, partial xpartial t = -st^2,
partial ypartial s = -ts^2, partial ypartial t = 1s

Passo 5

Aplicando na expressão de partial u/partial s:
partial upartial s = e^x+2ycdot1t + 2e^x+2ycdotl(-ts^2r) = e^x+2yl(1t - 2ts^2r)
Substituindo x = s/t e y = t/s temos
partial upartial s = e^st+2tsl(1t - 2ts^2r)

Passo 6

Aplicando na expressão de partial u/partial t:
partial upartial t = e^x+2ycdotl(-st^2r) + 2e^x+2ycdot1s = e^x+2yl(-st^2 + 2sr)
Substituindo x = s/t e y = t/s resulta
partial upartial t = e^st+2tsl(-st^2 + 2sr)

Resposta

partial upartial s = e^st+2tsl(1t - 2ts^2r), partial upartial t = e^st+2tsl(-st^2 + 2sr)

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