Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1raiznn+4
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (para séries alternadas) e o teste de convergência absoluta (comparação ou limite).

Passo 2

Para aplicar o Teste de Leibniz, precisamos de duas coisas para an = raiznn+4:
  1. limntoinftyan = 0.
  2. A sequência (an) deve ser (eventualmente) decrescente.
Primeiro,
limntoinftyraiznn+4 =limntoinfty1raizn;;=;0
Em seguida, definimos a função contínua
f(x)=raizxx+4, x>=1,
e calculamos a derivada
f'(x) =(x+4)12raizx-raizx(x+4)^2 =4-x2raizx,(x+4)^2
Para x>4 temos 4-x<0, logo f'(x)<0. Isso mostra que an é decrescente para n>=5. Como as finitas primeiras parcelas não afetam a convergência, todas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas e a série converge.

Passo 3

Agora, para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty|raiznn+4| =sumn=1^inftyraiznn+4
Comparemos raiznn+4 com 1raizn.
limntoinftyraiznn+41raizn =limntoinftynn+4 =1(finito e não nulo) ã
Como sum 1/raizn é uma série p-série com p=1/2<=1 e diverge, a nossa série de termos absolutos também diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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