Questão 1.
Determine, se existir, o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{3}+y^{3}}
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}},
que é um problema de limite de função de duas variáveis. Para verificar existência de limite, vamos testar aproximações ao ponto (0,0) por diferentes caminhos e ver se o valor se mantém único.

Passo 2

Aproximamos (x,y) por linhas passantes pela origem da forma y=kx, com k constante. Substituindo y=kx na expressão temos:
\frac{x^{2}\,(kx)}{x^{3}+(kx)^{3}} =\frac{k\,x^{3}}{x^{3}+k^{3}x^{3}} =\frac{k\,x^{3}}{(1+k^{3})\,x^{3}}.

Passo 3

Cancelando x^{3} (para x\neq0) obtemos o valor do limite ao longo dessa linha:
\frac{k}{1+k^{3}}.
Esse valor depende de k. Por exemplo:
\text{se }k=0,\;\frac{k}{1+k^{3}}=0, \quad \text{se }k=1,\;\frac{k}{1+k^{3}}=\frac{1}{2}.
Como diferentes retas dão diferentes valores, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe, pois assume valores diferentes conforme o caminho de aproximação.

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