Prove que todo polinômio de grau ímpar admite uma raíz. Ou seja, Se p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}, onde n é um número ímpar e a_{n}=\neq 0, então existe x_{0} \in \mathbb{R} tal que p\left(x_{0}\right)=0.
onde n é ímpar e a_{n}\neq0. Precisamos mostrar que existe x_{0}\in\mathbb{R} tal que p(x_{0})=0. Vamos usar que polinômios são funções contínuas, estudar os limites de p(x) em \pm\infty e aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Como n é ímpar, o termo dominante em módulo para x\to+\infty é a_{n}x^{n}. Logo
Os dois limites têm sinais opostos. Portanto, existe R>0 suficientemente grande tal que p(R) e p(-R) sejam valores de sinais contrários (por exemplo, se a_{n}>0 escolhemos R com p(R)>0 e p(-R)<0).
Passo 5
Como p é contínua em \mathbb{R}, o Teorema do Valor Intermediário garante que, num intervalo onde p muda de sinal (aqui [-R,R]), existe pelo menos um ponto x_{0} tal que
p(x_{0})=0.
Resposta
Demonstramos que todo polinômio real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.