Prove que todo polinômio de grau ímpar admite uma raíz. Ou seja, Se p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}, onde n é um número ímpar e a_{n}=\neq 0, então existe x_{0} \in \mathbb{R} tal que p\left(x_{0}\right)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio
p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},
onde n é ímpar e a_{n}\neq0. Precisamos mostrar que existe x_{0}\in\mathbb{R} tal que p(x_{0})=0. Vamos usar que polinômios são funções contínuas, estudar os limites de p(x) em \pm\infty e aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Como n é ímpar, o termo dominante em módulo para x\to+\infty é a_{n}x^{n}. Logo
\lim_{x\to+\infty}p(x)=\lim_{x\to+\infty}a_{n}x^{n}= \begin{cases} +\infty,&\text{se }a_{n}>0,\\\\ -\infty,&\text{se }a_{n}<0. \end{cases}

Passo 3

Para x\to-\infty, como (-x)^{n}=-x^{n} (pois n é ímpar), o mesmo termo dominante inverte de sinal:
\lim_{x\to-\infty}p(x)=\lim_{x\to-\infty}a_{n}x^{n}= \begin{cases} -\infty,&\text{se }a_{n}>0,\\\\ +\infty,&\text{se }a_{n}<0. \end{cases}

Passo 4

Os dois limites têm sinais opostos. Portanto, existe R>0 suficientemente grande tal que p(R) e p(-R) sejam valores de sinais contrários (por exemplo, se a_{n}>0 escolhemos R com p(R)>0 e p(-R)<0).

Passo 5

Como p é contínua em \mathbb{R}, o Teorema do Valor Intermediário garante que, num intervalo onde p muda de sinal (aqui [-R,R]), existe pelo menos um ponto x_{0} tal que
p(x_{0})=0.

Resposta

Demonstramos que todo polinômio real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.

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