Prove que, para todo x in R tem-se x^2 >= 0.

Passo 1

Nesta questão, queremos provar que o quadrado de qualquer número real é sempre não-negativo. O conteúdo é teoria de corpos ordenados: em $\mathbb{R}$, se a>0 e b>0 então a·b>0, e para todo x, existe -x tal que x+(-x)=0.

Passo 2

Começando pelo caso mais simples: se $x=0$, então automaticamente $x2=02=0$, que é não-negativo.

Passo 3

Agora considere $x>0$. Como $x$ e $x$ são ambos positivos, pelo axioma do corpo ordenado temos $x\cdot x>0$. Logo $x^2>0$.

Passo 4

Para o caso $x<0$, definimos $y=-x$. Note que $y>0$ (pois inverter o sinal de um número negativo dá positivo). Então
x<0
Como $y$ é positivo, pelo mesmo axioma $y^2>0$. Portanto $x^2>0$ quando $x<0$.

Passo 5

Juntando todos os casos ($x=0$, $x>0$ e $x<0$), vemos que sempre $x^2$ é maior ou igual a zero.

Resposta

Para todo $x \in \mathbb{R}$, tem-se $x^2 \ge 0$.

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