Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
Passo 1
O enunciado define a transformação
por
e pede para provar que
é linear usando a definição. Para isso, vamos verificar as duas propriedades seguintes para vetores
e escalar
:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Sejam
e
. Então
Aplicando
a essa soma, obtemos
Reagrupando termos,
Mas
e
. Logo,
mostrando a aditividade.
Passo 3
Seja
e
. Então
e aplicando
,
Fatorando
em cada componente,
Isso mostra a homogeneidade.
Resposta
Como verificamos tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é linear.