Prove que a transformação dada é linear, usando a definição.
T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado define a transformação T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (x+y,\;x-y)
e pede para provar que T é linear usando a definição. Para isso, vamos verificar as duas propriedades seguintes para vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 e escalar \alpha\in\mathbb{R}:
  1. T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) (aditividade)
  2. T(\alpha\,\mathbf{u}) = \alpha\,T(\mathbf{u}) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T a essa soma, obtemos
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\bigr).
Reagrupando termos,
\bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(x_1-y_1)+(x_2-y_2)\bigr) = (x_1+y_1,\;x_1-y_1) \;+\;(x_2+y_2,\;x_2-y_2).
Mas (x_1+y_1,\;x_1-y_1)=T(x_1,y_1)=T(\mathbf{u}) e (x_2+y_2,\;x_2-y_2)=T(\mathbf{v}). Logo,
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),
mostrando a aditividade.

Passo 3

Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y). Então
\alpha\,\mathbf{u} = (\alpha x,\;\alpha y),
e aplicando T,
T(\alpha\,\mathbf{u}) = T(\alpha x,\;\alpha y) = \bigl(\alpha x+\alpha y,\;\alpha x-\alpha y\bigr).
Fatorando \alpha em cada componente,
(\alpha(x+y),\;\alpha(x-y)) = \alpha\,(x+y,\;x-y) = \alpha\,T(x,y) = \alpha\,T(\mathbf{u}).
Isso mostra a homogeneidade.

Resposta

Como verificamos tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é linear.

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