Prove que o triângulo cujos vértices são A(2, 2), B(– 4, – 6) e C(4, – 12) é retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas A(2, 2), B(–4, –6) e C(4, –12). O objetivo é provar que esse triângulo é retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente, a fórmula da distância entre dois pontos e o teorema de Pitágoras para verificar se temos um ângulo reto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de vértices para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)

Passo 3

Vamos calcular a distância entre A e B:
AB = raiz(-4 - 2)^2 + (-6 - 2)^2 = raiz(-6)^2 + (-8)^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10

Passo 4

Agora, a distância entre B e C:
BC = raiz(4 - (-4))^2 + (-12 - (-6))^2 = raiz(8)^2 + (-6)^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10

Passo 5

Por fim, a distância entre A e C:
AC = raiz(4 - 2)^2 + (-12 - 2)^2 = raiz(2)^2 + (-14)^2 = raiz4 + 196 = raiz200 approx 14,14

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados: $ AB = 10 $, $ BC = 10 $ e $ AC \approx 14,14 $. Observamos que $ AC $ é o maior lado, então vamos verificar se a soma dos quadrados dos outros dois lados é igual ao quadrado de $ AC $. Isso é baseado no teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Passo 7

Calculando:
AB^2 + BC^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200
AC^2 = (14,14)^2 approx 200

Passo 8

Como $ AB^2 + BC^2 \approx AC^2 $ (200 ≈ 200), isso confirma que o triângulo satisfaz o teorema de Pitágoras, ou seja, ele tem um ângulo reto.

Resposta

Portanto, o triângulo com vértices em A(2, 2), B(–4, –6) e C(4, –12) é retângulo.

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