Prove que o triângulo cujos vértices são A(2, 2), B(– 4, – 6) e C(4, – 12) é retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas A(2, 2), B(–4, –6) e C(4, –12). O objetivo é provar que esse triângulo é retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente, a fórmula da distância entre dois pontos e o teorema de Pitágoras para verificar se temos um ângulo reto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de vértices para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Passo 3
Vamos calcular a distância entre A e B:
Passo 4
Agora, a distância entre B e C:
Passo 5
Por fim, a distância entre A e C:
Passo 6
Agora que temos os comprimentos dos lados: $ AB = 10 $, $ BC = 10 $ e $ AC \approx 14,14 $. Observamos que $ AC $ é o maior lado, então vamos verificar se a soma dos quadrados dos outros dois lados é igual ao quadrado de $ AC $. Isso é baseado no teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Passo 7
Calculando:
Passo 8
Como $ AB^2 + BC^2 \approx AC^2 $ (200 ≈ 200), isso confirma que o triângulo satisfaz o teorema de Pitágoras, ou seja, ele tem um ângulo reto.
Resposta
Portanto, o triângulo com vértices em A(2, 2), B(–4, –6) e C(4, –12) é retângulo.