Prove que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) é um triângulo retângulo. (Sugestão: A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que o produto interno de dois vetores que determinam os lados do triângulo é nulo.)

Passo 1

O enunciado pede para provar que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) é retângulo. O conteúdo é produto interno em R^3 e vetores. Vamos usar a sugestão de mostrar que o produto interno de dois lados do triângulo é zero, o que garante um ângulo de 90^circ.

Passo 2

Escolhemos os vetores que partem de B:
BA = A - B = (2-2,;3-1,;1-(-1)) = (0,;2,;2),
BC = C - B = (2-2,;2-1,;-2-(-1)) = (0,;1,;-1)

Passo 3

Usamos a definição de produto interno em R^3: se u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), então
ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3
Aplicando a BA e BC, temos
BAcdotBC =0cdot0 + 2cdot1 + 2cdot(-1) =2 - 2 =0

Passo 4

Como o produto interno de dois vetores é zero exatamente quando eles são perpendiculares, concluímos que BAperpBC. Portanto, o ângulo ang<= ABC é reto e o triângulo ABC é retângulo em B.

Resposta

O triângulo ABC é um triângulo retângulo em B.

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