Prove que o triângulo de vértices , e é um triângulo retângulo. (Sugestão: A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que o produto interno de dois vetores que determinam os lados do triângulo é nulo.)
Passo 1
O enunciado pede para provar que o triângulo de vértices , e é retângulo. O conteúdo é produto interno em e vetores. Vamos usar a sugestão de mostrar que o produto interno de dois lados do triângulo é zero, o que garante um ângulo de .
Passo 2
Escolhemos os vetores que partem de :
BC = C - B = (2-2,;2-1,;-2-(-1)) = (0,;1,;-1)
Passo 3
Usamos a definição de produto interno em R^3: se u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), então
ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3
Aplicando a BA e BC, temos
BAcdotBC =0cdot0 + 2cdot1 + 2cdot(-1) =2 - 2 =0
Passo 4
Como o produto interno de dois vetores é zero exatamente quando eles são perpendiculares, concluímos que BAperpBC. Portanto, o ângulo ang<= ABC é reto e o triângulo ABC é retângulo em B.