TODOS OS ITENS DA QUESTÃO 1 DEVEM SER RESOLVIDOS POR ESCALONAMENTO
Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
rlrl3 x-y & & =1 & 2 y-5 z & & =-11 z-t & =-1 x+y+z+t & =10

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas (x,y,z,t) e pede para classificá-lo e resolvê-lo por escalonamento. O conteúdo é eliminação de Gauss: montamos a matriz aumentada, usamos operações elementares para chegar à forma escalonada reduzida e obtemos a solução ou classificamos o sistema.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada na ordem dada pelas equações:
[cccc|c 3 & -1 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & -5 & 0 & -11 0 & 0 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 & 1 & 10 ]
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 4 (para ter pivô 1 na primeira coluna):
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & 2 & -5 & 0 & -11 0 & 0 & 1 & -1 & -1 3 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do pivô da primeira coluna (linha 4 linha 4 - 3times linha 1):
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & 2 & -5 & 0 & -11 0 & 0 & 1 & -1 & -1 0 & -4 & -3 & -3 & -29 ]

Passo 4

Agora usamos o pivô 2 em ( 2,2) para zerar acima e abaixo:
  • Linha 1 linha 1 -tfrac12 timeslinha 2
  • Linha 4 linha 4 + 2timeslinha 2
[cccc|c 1 & 0 & 3,5 & 1 & 15,5 0 & 2 & -5 & 0 & -11 0 & 0 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -13 & -3 & -51 ]

Passo 5

Usamos o pivô 1 em ( 3,3) para zerar nas linhas 1, 2 e 4:
  • Linha 1 linha 1 - 3,5times linha 3
  • Linha 2 linha 2 + 5times linha 3
  • Linha 4 linha 4 + 13times linha 3
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 4,5 & 19 0 & 2 & 0 & -5 & -16 0 & 0 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & -16 & -64 ]

Passo 6

Por fim, o pivô -16 em ( 4,4) nos dá t. Dividimos a linha 4 e zeramos acima:
linha 4div(-16);Longrightarrow;l[0;0;0;1mid4r],
então
  • Linha 1 linha 1 - 4,5times linha 4
  • Linha 2 linha 2 + 5times linha 4
  • Linha 3 linha 3 + 1times linha 4
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 4 ]
Finalmente, dividimos a linha 2 por 2:
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 4 ]

Resposta

O sistema é possível e determinado, com solução
(x,y,z,t) = (1,,2,,3,,4)

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