Prove, usando a definição, que o limite de cada função é o resultado indicado.
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite infinito à esquerda, que
. Vamos usar que, para todo
, existe
tal que, se
e
, então
.
Passo 2
Note que, para
, podemos escrever
. Isso simplifica nossa análise da desigualdade.
Passo 3
Queremos
. Como
e
, multiplicando ambos os lados por
(inverte a desigualdade), obtemos
.
Agora invertemos a fração (mantendo a desigualdade, pois todos os termos são positivos): . Daí resulta
.
Agora invertemos a fração (mantendo a desigualdade, pois todos os termos são positivos):
Passo 4
Basta então escolher
. Assim, sempre que
e
, temos
. Isso mostra, pela definição, que o limite é
.