Prove, usando a definição, que o limite de cada função é o resultado indicado.
h) lim x 2^- 3 x-6(2-x)^2=-infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite infinito à esquerda, que limx to 2^- 3x-6(2-x)^2 = -infty. Vamos usar que, para todo M<0, existe de0 tal que, se x<2 e 0<2-x, então 3x-6(2-x)^2.

Passo 2

Note que, para x<2, podemos escrever 3x-6(2-x)^2 = 3(x-2)(2-x)^2 = -32-x. Isso simplifica nossa análise da desigualdade.

Passo 3

Queremos -32-x. Como 2-x>0 e M<0, multiplicando ambos os lados por -1 (inverte a desigualdade), obtemos 32-x>-M.
Agora invertemos a fração (mantendo a desigualdade, pois todos os termos são positivos): 2-x3<1-M. Daí resulta 2-x<3-M.

Passo 4

Basta então escolher de. Assim, sempre que x<2 e 0<2-x, temos 3x-6(2-x)^2. Isso mostra, pela definição, que o limite é -infty.

Resposta

-infty

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