Prove, usando a definição, que o limite de cada função é o resultado indicado.
i) lim x -infty x+42 x-3=12

Passo 1

Vamos provar, pela definição de limite quando xto -infty, que
limxto -inftyx+42x-3=12
O conteúdo aqui é manipular a expressão x+42x-3-12 e mostrar que fica arbitrariamente pequena para x muito negativo.

Passo 2

Pela definição, devemos mostrar que para todo varepsilon>0 existe um N>0 tal que, sempre que x< -N, valha
|x+42x-3-12|<varepsilon

Passo 3

Calculemos a diferença
x+42x-3-12 =2(x+4)-(2x-3)2(2x-3) =2x+8-2x+32(2x-3) =114x-6
Logo
|x+42x-3-12| =11l|4x-6r| <= 114|x|-6

Passo 4

Queremos 114|x|-6<varepsilon. Como para x< -1 temos |x|=-x, basta exigir
4|x|-6> 11varepsilon Long<=ftrightarrow |x|> 11/varepsilon+64
Assim, basta escolher
N=11/varepsilon+64
Então, sempre que x< -N, garantimos
l|x+42x-3-tfrac12r|<varepsilon.

Resposta

Pelo critério de definição de limite para xto -infty, acabamos de mostrar que dado qualquer varepsilon>0 podemos tomar N=(11/varepsilon+6)/4 de modo que, se x< -N, então
l|x+42x-3-tfrac12r|<varepsilon. Logo
limxto -inftyx+42x-3=12

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