Resolva a equação diferencial y^prime=x y|x y|, (x neq 0, y neq 0). Faça um esboço da família de soluções. Resolva o problema de valor inicial formado com cada uma das condições iniciais, encontrando em cada caso o intervalo máximo de definição e fazendo um esboço da solução:
y(2)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=x,ylvert x,yrvert, xneq0,;yneq0,
ou seja, identificar a família geral de soluções e esboçá-la, e depois tratar o problema de valor inicial com y(2)=-1, achando a solução particular, seu intervalo máximo de definição e esboçando-a.

Passo 2

Note que
x,ylvert x,yrvert =sgn(x,y) =sgn(x),sgn(y)
Assim em cada região onde x e y têm sinal fixo, o coeficiente é constante igual a pm1.

Passo 3

Em cada região:
  • Se logo
  • Se e logo
Em resumo, em cada sub-região a solução é uma reta de inclinação com constante , sujeita a manter o sinal de .

Passo 4

Esboço da família de soluções:
  • No 1.º quadrante (x>0,y>0): retas paralelas a y=x.
  • No 2.º quadrante (x<0,y>0): retas paralelas a y=-x.
  • No 3.º quadrante (x<0,y<0): retas paralelas a y=x.
  • No 4.º quadrante (x>0,y<0): retas paralelas a y=-x.
    Nenhuma dessas retas cruza o eixo x ou o eixo y, pois x=0 e y=0 são singulares.

Passo 5

Para a condição inicial y(2)=-1, temos x0=2>0 e y0=-1<0, ou seja, estamos no 4.º quadrante, onde
y'=-1,
portanto
y(x)=-x+C
Impondo y(2)=-1
-2+C=-1 Longrightarrow C=1,
logo a solução particular é
y(x)=-x+1

Passo 6

O intervalo máximo de definição exige que:
  1. xneq0.
  2. y(x)neq0, ou seja -x+1neq0Rightarrow xneq1.
Como a condição inicial está em x=2, o maior intervalo conecto que contém 2 e não atinge x=1 nem x=0 é
(1,;+infty)

Passo 7

Esboço da solução particular:
é a reta de inclinação -1 que passa em (2,-1) e atinge y=0 em x=1, definida para x>1.

Resposta

Solução geral: em cada região de sinal fixo de x e y,
y(x)=pm x + C,
com o sinal escolhido para manter sgn(x)sgn(y) constante.
Para y(2)=-1:
y(x)=-x+1,
definida no intervalo máximo de definição (1,+infty).

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