Prove, usando a definição, que o limite de cada função é o resultado indicado.
j)
j)
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite infinito, que
O conteúdo aqui é limite quando
tende a
e o valor do limite é
. Precisamos usar a definição que diz: para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Começamos aplicando divisão de polinômios para reescrever a função de modo mais claro. Observe que
Fazendo a divisão de
por
obtemos
logo
Passo 3
Para
temos
e, portanto,
Assim, para todo
,
Passo 4
Agora aplicamos a definição. Seja
um número arbitrário. Queremos achar
tal que, sempre que
, valha
Pelo que vimos,
Logo basta garantir que
ou seja,
Escolhemos
Então, sempre que
, temos
(logo a desigualdade de
Passo 5
Passo 6
Como mostramos que para todo
existe
satisfazendo
, concluímos pela definição que