Prove, usando a definição, que o limite de cada função é o resultado indicado.
j) lim x +infty 2 x^2-61-x=-infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite infinito, que
limxto+infty2x^2-61-x=-infty
O conteúdo aqui é limite quando x tende a +infty e o valor do limite é -infty. Precisamos usar a definição que diz: para todo K<0 existe N>0 tal que, se x>N, então 2x^2-61-x<K.

Passo 2

Começamos aplicando divisão de polinômios para reescrever a função de modo mais claro. Observe que
2x^2-61-x =-,2x^2-6,x-1,
Fazendo a divisão de 2x^2-6 por x-1 obtemos
2x^2-6x-1=2x+2+2,x-1,,
logo
2x^2-61-x =-(2x+2)-2,x-1, =-2x-2-2,x-1,

Passo 3

Para x>=3 temos x-1>=2 e, portanto,
2,x-1,<=1
Assim, para todo x>=3,
2x^2-61-x =-2x-2-2,x-1, <= -2x-2-1 =-2x-3

Passo 4

Agora aplicamos a definição. Seja K<0 um número arbitrário. Queremos achar N>0 tal que, sempre que x>N, valha
2x^2-61-x<K
Pelo que vimos,
2x^2-61-x<= -2x-3
Logo basta garantir que
-2x-3<K,
ou seja,
x>-K+32
Escolhemos
N=maxl3,,-K+32r
Então, sempre que x>N, temos x>=3 (logo a desigualdade de

Passo 5

2x^2-61-x<= -2x-3< K

Passo 6

Como mostramos que para todo K<0 existe N>0 satisfazendo x>Nimplies2x^2-61-x<K, concluímos pela definição que
limxto+infty2x^2-61-x=-infty

Resposta

limxto+infty2x^2-61-x=-infty

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