O enunciado pede para provar que o limite de quando é zero, usando a definição rigorosa de limite no infinito. O conteúdo envolve limites de funções no infinito e manipulações de desigualdades com valores absolutos.
Passo 2
Lembrando que dizer significa: para todo existe tal que sempre que temos . Aqui e .
Passo 3
Estimamos o módulo da função. Usando desigualdade triangular, temos
e
Logo,
Passo 4
Para garantir que |(z+1)/(z^2-7)| basta ter
4|z|4varepsilon
Portanto, escolhendo
R=max1,,raiz14,,4/varepsilon,
asseguramos que tanto as estimativas anteriores (|z|>1 e |z|>raiz14) quanto a condição 4/|z| sejam atendidas.
Passo 5
Assim, para todo varepsilon>0, ao tomar R como acima, temos que |z|>R implica |(z+1)/(z^2-7)|, provando que o limite é zero.