Prove, usando a definição de limite, que.
lim z infty(z+1) /(z^2-7)=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que o limite de (z+1)/(z^2-7) quando ztoinfty é zero, usando a definição rigorosa de limite no infinito. O conteúdo envolve limites de funções no infinito e manipulações de desigualdades com valores absolutos.

Passo 2

Lembrando que dizer limztoinftyf(z)=L significa: para todo varepsilon>0 existe R>0 tal que sempre que |z|>R temos |f(z)-L|. Aqui f(z)=(z+1)/(z^2-7) e L=0.

Passo 3

Estimamos o módulo da função. Usando desigualdade triangular, temos
|z+1|<=|z|+1<2|z|
e
|z^2-7|>=|z|^2-7>|z|^22
Logo,
|z+1z^2-7|<2|z||z|^2/2=4|z|

Passo 4

Para garantir que |(z+1)/(z^2-7)| basta ter
4|z|4varepsilon
Portanto, escolhendo
R=max1,,raiz14,,4/varepsilon,
asseguramos que tanto as estimativas anteriores ( |z|>1 e |z|>raiz14) quanto a condição 4/|z| sejam atendidas.

Passo 5

Assim, para todo varepsilon>0, ao tomar R como acima, temos que |z|>R implica |(z+1)/(z^2-7)|, provando que o limite é zero.

Resposta

0

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