Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 3 4(x-3)^2=+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto 34(x-3)^2=+infty
usando a definição de limite infinito. Ou seja, precisamos provar que para todo M>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<de<a, a desigualdade
4(x-3)^2>M
é satisfeita.

Passo 2

Partimos da condição que queremos impor:
4(x-3)^2>M
Reescrevendo essa desigualdade, temos
(x-3)^2<4M Long<=ftrightarrow |x-3|<2raizM

Passo 3

Para garantir 4(x-3)^2>M sempre que 0<|x-3|<de<a, basta escolher
de<a = 2raizM
De fato, se 0<|x-3|<de<a então
|x-3|<2raizM ;Longrightarrow; (x-3)^2<4M ;Longrightarrow; 4(x-3)^2>M

Passo 4

Como a escolha de de<a depende apenas de M e funciona para qualquer M>0, cumprimos a definição de limite que tende a +infty.

Resposta

limxto 34(x-3)^2=+infty

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