Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 2 6(2 x-4)^4=+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto26(2x-4)^4 = +infty
usando a definição de limite para +infty.
Isto significa provar que, para todo M>0, existe de<a>0 tal que, se 0<|x-2|<de<a, então
6(2x-4)^4>M

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão em função de |x-2|. Note que
2x-4 = 2(x-2),
logo
(2x-4)^4 = 2^4(x-2)^4 = 16,(x-2)^4
Portanto a função fica
6(2x-4)^4 = 616,(x-2)^4 = 38,(x-2)^4

Passo 3

Queremos, dado M>0, encontrar de<a>0 tal que
0<|x-2|<de<a Longrightarrow 38,(x-2)^4>M

Passo 4

Resolvendo a desigualdade
38,(x-2)^4>M Long<=ftrightarrow (x-2)^4<38M Long<=ftrightarrow |x-2|<l(38Mr)^1/4
Logo basta escolher
de<a = l(38Mr)^1/4
Assim, sempre que 0<|x-2|<de<a temos
6(2x-4)^4 = 38,(x-2)^4>M,
o que prova que o limite é +infty.

Resposta

+infty

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