Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x -2 -4(2 x^2-8)^4=-infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite que tende a -infty, que
limxto -2-4l(2x^2-8r)^4=-infty
O conteúdo é a definição de limite para -infty e estimativas algébricas para controlar o denominador próximo de x=-2.

Passo 2

Lembrando a definição: dizer que
limxto -2f(x)=-infty
significa que, para todo A<0, existe de<a>0 tal que
0<|x+2|<de<a Longrightarrow f(x)<A
Aqui f(x)=-4/(2x^2-8)^4.

Passo 3

Para estimar |2x^2-8| quando x está perto de -2, fatoramos:
2x^2-8 = 2l(x^2-4r) =2(x-2)(x+2)
Se garantirmos |x+2|<1, então -3<x+2<1 implica
|x-2| = |(x+2)-4|>= 4 - |x+2| >3
Logo, para 0<|x+2|<1, vale
|2x^2-8| = 2,|x-2|,|x+2| > 2cdot 3,|x+2| = 6,|x+2|

Passo 4

Para 0<|x+2|<1 temos então
l|2x^2-8r|^4 > (6,|x+2|)^4 = 6^4,|x+2|^4,
e como o denominador é elevado à quarta potência, sempre positivo, obtemos
-4l(2x^2-8r)^4 < -,46^4,|x+2|^4
Queremos que isso seja menor que um dado A<0. Sendo A<0, multiplicar por -1 inverte a desigualdade:
-,46^4,|x+2|^4<A Long<=ftrightarrow 46^4,|x+2|^4> -A Long<=ftrightarrow |x+2|^4 < 46^4(-A)
Defina
K = l(tfrac46^4(-A)r)^1/4,
e escolha
de<a = min1,,K
Então, sempre que 0<|x+2|<de<a, garantimos as duas condições necessárias ( |x+2|<1 e |x+2|<K) e, consequentemente,
-4l(2x^2-8r)^4<A

Passo 5

Mostramos que a cada A<0 podemos associar de<a>0 tal que 0<|x+2|<de<a implica f(x)<A. Isso é exatamente a definição de
limxto -2f(x)=-infty.

Resposta

limxto -2-4l(2x^2-8r)^4=-infty

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