Prove usando a definição os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite que tende a
, que
O conteúdo é a definição de limite para
e estimativas algébricas para controlar o denominador próximo de
.
Passo 2
Lembrando a definição: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que
Aqui
.
Passo 3
Para estimar
quando
está perto de
, fatoramos:
Se garantirmos
, então
implica
Logo, para
, vale
Passo 4
Para
temos então
e como o denominador é elevado à quarta potência, sempre positivo, obtemos
Queremos que isso seja menor que um dado
A<0 . Sendo
A<0 , multiplicar por
-1 inverte a desigualdade:
Defina
e escolha
Então, sempre que
0<|x+2|<de<a , garantimos as duas condições necessárias (
|x+2|<1 e
|x+2|<K ) e, consequentemente,
Passo 5
Mostramos que a cada
A<0 podemos associar
de<a>0 tal que
0<|x+2|<de<a implica
f(x)<A . Isso é exatamente a definição de
limxto -2f(x)=-infty .