Prove, usando o princípio de indução finita, que:
um múltiplo de 7 .
Passo 1
Beleza, deixa eu resumir o que a gente tem que fazer. A questão pede: “Prove, por indução finita, que
é múltiplo de 7 para todo inteiro
Conteúdo: Princípio da indução.
O que vamos precisar:
1) Saber o que significa “ser múltiplo de 7” (que o resto da divisão por 7 é zero).
2) Conhecer a estrutura de uma prova por indução: mostrar a base e depois o passo indutivo.
3) Usar propriedades de potências (por exemplo,
Passo 2
Base da indução (
):
Calcule a expressão quando :
Calcule a expressão quando
E 7 é múltiplo de 7 (obviamente), pois
Logo, vale para
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que para algum a afirmação seja verdadeira, ou seja, existe um inteiro
tal que
Suponha que para algum
Passo 4
Passo indutivo (de
para
):
Vamos mostrar que também vale para . Considere
Vamos mostrar que também vale para
Agora use a propriedade de potências:
3^{2k+3} = 3^{2k+1+2} = 3{2k+1}\cdot32 = 9\cdot3^{2k+1},
e
2^{k+3} = 2^{k+2+1} = 2^{k+2}\cdot2.
Então
Agora reescreve 9 como (7+2):
Logo,
Agrupa o que tem fator 2:
Pela hipótese de indução
Isso mostra que a expressão para
Resposta
Pela base e pelo passo indutivo, concluímos que para todo
a quantidade
é múltiplo de 7.