Prove, usando o princípio de indução finita, que:
3^2 n+1+2^n+2 6 um múltiplo de 7 .

Passo 1

Beleza, deixa eu resumir o que a gente tem que fazer. A questão pede: “Prove, por indução finita, que
3^2n+1+2^n+2
é múltiplo de 7 para todo inteiro n>=0.”
Conteúdo: Princípio da indução.
O que vamos precisar:
1) Saber o que significa “ser múltiplo de 7” (que o resto da divisão por 7 é zero).
2) Conhecer a estrutura de uma prova por indução: mostrar a base e depois o passo indutivo.
3) Usar propriedades de potências (por exemplo, a^m+k=a^mcdot a^k).

Passo 2

Base da indução ( n=0):
Calcule a expressão quando n=0:
3^2cdot0+1+2^0+2=3^1+2^2=3+4=7
E 7 é múltiplo de 7 (obviamente), pois 7=7cdot1.
Logo, vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que para algum k>=0 a afirmação seja verdadeira, ou seja, existe um inteiro m tal que
3^2k+1+2^k+2=7m

Passo 4

Passo indutivo (de k para k+1):
Vamos mostrar que também vale para n=k+1. Considere
3^2(k+1)+1+2^(k+1)+2 = 3^2k+3+2^k+3
Agora use a propriedade de potências:
3^{2k+3} = 3^{2k+1+2} = 3{2k+1}\cdot32 = 9\cdot3^{2k+1},
e
2^{k+3} = 2^{k+2+1} = 2^{k+2}\cdot2.
Então
3^2k+3+2^k+3 =9cdot3^2k+1 ;+; 2cdot2^k+2
Agora reescreve 9 como (7+2):
9cdot3^2k+1 =(7+2),3^2k+1 =7cdot3^2k+1+2cdot3^2k+1
Logo,
3^2k+3+2^k+3 =7cdot3^2k+1 ;+;2cdot3^2k+1;+;2cdot2^k+2
Agrupa o que tem fator 2:
=7cdot3^2k+1 + 2l(3^2k+1+2^k+2r)
Pela hipótese de indução 3^2k+1+2^k+2=7m, então
3^2k+3+2^k+3 =7cdot3^2k+1 + 2cdot(7m) =7l(3^2k+1+2mr)
Isso mostra que a expressão para n=k+1 também é múltiplo de 7.

Resposta

Pela base e pelo passo indutivo, concluímos que para todo n>=0 a quantidade
3^2n+1+2^n+2
é múltiplo de 7.

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