Prove por indução que a soma dos
primeiros termos de uma PA de razâo
e
é
Passo 1
Beleza! A gente quer provar, por indução, que a soma dos
primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo
e razão
é
Conteúdo: indução matemática e definição de PA.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Entender o que é PA e sua soma parcial.
- Saber o passo base (caso
). - Elaborar a hipótese de indução e mostrar que, se vale para
, vale para .
Passo 2
Passo Base (
):
– Lado esquerdo: só tem o primeiro termo, que é .
– Lado direito da fórmula:
Então para a fórmula bate direitinho:
.
– Lado esquerdo: só tem o primeiro termo, que é
– Lado direito da fórmula:
Então para
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo (
):
A soma até é a soma dos
primeiros termos (que, pela hipótese, já sabemos) mais o termo
-ésimo, que é
.
Então
A soma até
Então
Agora é só manipular:
E isso é exatamente a fórmula com
.
Resposta
Concluímos, por indução, que para todo