Prove por indução que a soma dos n primeiros termos de uma PA de razâo r>0 e a1=a é
a+(a+r)+cdots+(a+(n-1) r)=n(2 a+(n-1) r)2

Passo 1

Beleza! A gente quer provar, por indução, que a soma dos a + (a+r) + cdots + l(a+(n-1)rr) ;=; nl(2a+(n-1)rr)2 primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo e razão é
Conteúdo: indução matemática e definição de PA.
O que precisamos:
  1. Entender o que é PA e sua soma parcial.
  2. Saber o passo base (caso ).
  3. Elaborar a hipótese de indução e mostrar que, se vale para , vale para .

Passo 2

Passo Base ( ):
– Lado esquerdo: só tem o primeiro termo, que é .
– Lado direito da fórmula:
Então para a fórmula bate direitinho: .

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum a + (a+r) + cdots + l(a+(k-1)rr) = kl(2a+(k-1)rr)2 valha

Passo 4

Passo indutivo ( Sk+1 &= l[a + (a+r) + cdots + (a+(k-1)r)r] ;+; l(a + k rr) &= kl(2a+(k-1)rr)2 ;+; (a + k r) ):
A soma até k(2a+(k-1)r)2 + (a + k r) &= k(2a+(k-1)r) + 2(a + k r)2 &= 2ak + k(k-1)r + 2a + 2kr2 &= 2a(k+1) + rl(k^2 - k + 2kr)2 &= 2a(k+1) + rl(k^2 + kr)2 &= (k+1)l(2a + k rr)2 é a soma dos primeiros termos (que, pela hipótese, já sabemos) mais o termo -ésimo, que é .
Então
Agora é só manipular:
E isso é exatamente a fórmula com .

Resposta

Concluímos, por indução, que para todo a + (a+r) + cdots + l(a+(n-1)rr) = nl(2a+(n-1)rr)2

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