Sobre a interpolação polinomial, é verdadeiro afirmar que:
A Dados dez pontos, interpolar linearmente equivale sempre a ajustar por regressão uma reta aos dois pontos de abscissas extremas.
F
B Aumentar o grau do polinômio interpolador sempre diminui o erro cometido.
C Existem infinitos polinômios de grau
que passem por
pontos base de abscissas distintas.
D O tempo de resolução depende da diferença entre a maior abscissa e a menor abscissa, entre os pontos base.
1.E A cota superior do erro depende do método de interpolação escolhido.
A Dados dez pontos, interpolar linearmente equivale sempre a ajustar por regressão uma reta aos dois pontos de abscissas extremas.
F
B Aumentar o grau do polinômio interpolador sempre diminui o erro cometido.
C Existem infinitos polinômios de grau
D O tempo de resolução depende da diferença entre a maior abscissa e a menor abscissa, entre os pontos base.
1.E A cota superior do erro depende do método de interpolação escolhido.
Passo 1
Beleza, resumo o que rolou: a pergunta é sobre interpolação polinomial e quer saber quais afirmativas são verdadeiras. O conteúdo é: existência e unicidade do polinômio interpolador, influência do grau no erro, complexidade computacional e cota de erro. Para resolver, a gente vai precisar lembrar do teorema fundamental da interpolação (único polinômio de grau ≤ n−1 que passa por n pontos com abscissas distintas) e do comportamento do erro e da complexidade.
Passo 2
Analisando a opção A:
“Dados dez pontos, interpolar linearmente equivale sempre a ajustar por regressão uma reta aos dois pontos de abscissas extremas.”
– Teoria usada: interpolação linear é, em geral, piecewise (trechos) ou um polinômio de grau 1 só se tiver 2 pontos. Se você tem 10 pontos e faz “linear” na interpolação polinomial clássica, você quebraria em vários segmentos ou escolheria só 2 pontos. Mas regressão é outro processo (mínimos quadrados) que não garante passar pelos pontos.
Conclusão: essa afirmação é falsa.
“Dados dez pontos, interpolar linearmente equivale sempre a ajustar por regressão uma reta aos dois pontos de abscissas extremas.”
– Teoria usada: interpolação linear é, em geral, piecewise (trechos) ou um polinômio de grau 1 só se tiver 2 pontos. Se você tem 10 pontos e faz “linear” na interpolação polinomial clássica, você quebraria em vários segmentos ou escolheria só 2 pontos. Mas regressão é outro processo (mínimos quadrados) que não garante passar pelos pontos.
Conclusão: essa afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando a opção B:
“Aumentar o grau do polinômio interpolador sempre diminui o erro cometido.”
– Teoria usada: existe o fenômeno de Runge, e às vezes aumentar o grau em pontos equiespaçados pode aumentar o erro (oscilações). Então não há garantia de erro menor só subindo o grau.
Conclusão: falsa.
“Aumentar o grau do polinômio interpolador sempre diminui o erro cometido.”
– Teoria usada: existe o fenômeno de Runge, e às vezes aumentar o grau em pontos equiespaçados pode aumentar o erro (oscilações). Então não há garantia de erro menor só subindo o grau.
Conclusão: falsa.
Passo 4
Analisando a opção C:
“Existem infinitos polinômios de grau que passem por
pontos base de abscissas distintas.”
– Teoria usada: um polinômio de grau tem
coeficientes. Impor que ele passe por
pontos dá
equações, então sobra 1 grau de liberdade → infinitas soluções.
Conclusão: verdadeira.
“Existem infinitos polinômios de grau
– Teoria usada: um polinômio de grau
Conclusão: verdadeira.
Passo 5
Analisando a opção D:
“O tempo de resolução depende da diferença entre a maior abscissa e a menor abscissa, entre os pontos base.”
– Teoria usada: a complexidade de montar e resolver o sistema de interpolação (ou usar fórmulas de Newton/Lagrange) depende do número de pontos , e não do “tamanho” do intervalo
.
Conclusão: falsa.
“O tempo de resolução depende da diferença entre a maior abscissa e a menor abscissa, entre os pontos base.”
– Teoria usada: a complexidade de montar e resolver o sistema de interpolação (ou usar fórmulas de Newton/Lagrange) depende do número de pontos
Conclusão: falsa.
Passo 6
Analisando a opção E:
“A cota superior do erro depende do método de interpolação escolhido.”
– Teoria usada: no caso de um polinômio interpolador de grau fixo, o limite de erro
“A cota superior do erro depende do método de interpolação escolhido.”
– Teoria usada: no caso de um polinômio interpolador de grau fixo, o limite de erro
não muda se você usar forma de Newton ou de Lagrange (o polinômio é o mesmo). Só muda se você trocar de “tipo” de interpolação (por exemplo, splines em vez de polinômio). Mas no contexto de polinômio puro, a cota vem da teoria única.
Conclusão: falsa.
Conclusão: falsa.
Resposta
A única afirmativa verdadeira é a opção C.