Prove, usando tabela -verdade, as seguintes equivalências:
Associativa.
& p \wedge(q \wedge r) \Leftrightarrow(p \wedge q) \wedge r \
& p \vee(q \vee r) \Leftrightarrow(p \vee q) \vee r
Associativa.
& p \vee(q \vee r) \Leftrightarrow(p \vee q) \vee r
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre, por meio de tabelas-verdade, que as fórmulas
são logicamente equivalentes (associatividade de
), e que
também são equivalentes (associatividade de
). Para cada caso, montamos todas as
linhas possíveis de
e comparamos as colunas correspondentes.
Passo 2
Tabela-verdade para a conjunção: colunas
.
Passo 3
Observando a tabela, em todas as
linhas o valor de
coincide com o de
.
Logo
coincide com o de
Logo
é uma tautologia, provando a associatividade de
.
Passo 4
Tabela-verdade para a disjunção: colunas
.
Passo 5
Nesta tabela também, em todas as linhas os valores de
e de
são idênticos. Portanto
e de
são idênticos. Portanto
é uma tautologia, provando a associatividade de
.
Resposta
As duas equivalências são tautologias, isto é, ambas são verdadeiras para todos os valores de
: