Prove, usando tabela -verdade, as seguintes equivalências:
Associativa.
& p \wedge(q \wedge r) \Leftrightarrow(p \wedge q) \wedge r \
& p \vee(q \vee r) \Leftrightarrow(p \vee q) \vee r

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre, por meio de tabelas-verdade, que as fórmulas
pwed>=l(qwed>= rr)el(pwed>= qr)wed>= r
são logicamente equivalentes (associatividade de wed>=), e que
pveel(qvee rr)el(pvee qr)vee r
também são equivalentes (associatividade de vee). Para cada caso, montamos todas as 2^3=8 linhas possíveis de (p,q,r) e comparamos as colunas correspondentes.

Passo 2

Tabela-verdade para a conjunção: colunas ;p,;q,;r,;qwed>= r,;pwed>=(qwed>= r),;pwed>= q,;(pwed>= q)wed>= r;.
c c c ;|; c ;|; c ;|; c ;|; c p & q & r & qwed>= r & pwed>=(qwed>= r) & pwed>= q & (pwed>= q)wed>= rhline V&V&V&V&V&V&V V&V&F&F&F&V&F V&F&V&F&F&F&F V&F&F&F&F&F&F F&V&V&V&F&F&F F&V&F&F&F&F&F F&F&V&F&F&F&F F&F&F&F&F&F&F

Passo 3

Observando a tabela, em todas as 8 linhas o valor de
;pwed>=l(qwed>= rr)
coincide com o de
;(pwed>= q)wed>= r.
Logo
pwed>=l(qwed>= rr);Leftrightarrow;(pwed>= q)wed>= r
é uma tautologia, provando a associatividade de wed>=.

Passo 4

Tabela-verdade para a disjunção: colunas ;p,;q,;r,;qvee r,;pvee(qvee r),;pvee q,;(pvee q)vee r;.
c c c ;|; c ;|; c ;|; c ;|; c p & q & r & qvee r & pvee(qvee r) & pvee q & (pvee q)vee rhline V&V&V&V&V&V&V V&V&F&V&V&V&V V&F&V&V&V&V&V V&F&F&F&V&V&V F&V&V&V&V&V&V F&V&F&V&V&V&V F&F&V&V&V&F&V F&F&F&F&F&F&F

Passo 5

Nesta tabela também, em todas as linhas os valores de
;pveel(qvee rr)
e de
;(pvee q)vee r
são idênticos. Portanto
pveel(qvee rr);Leftrightarrow;(pvee q)vee r
é uma tautologia, provando a associatividade de vee.

Resposta

As duas equivalências são tautologias, isto é, ambas são verdadeiras para todos os valores de p,q,r:
pwed>=l(qwed>= rr); Leftrightarrow;(pwed>= q)wed>= r, pveel(qvee rr);Leftrightarrow;(pvee q)vee r

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