Seja f(x), em pés, o nível do rio Mississippi a uma distância de x milhas da sua nascente, quais são as unidades de f^prime(x) ? O que você pode dizer a respeito do sinal de f^prime(x) ?

Passo 1

O enunciado define f(x) como o nível do rio em pés quando estamos a x milhas da nascente. Ele pergunta pelas unidades de f'(x) e o que podemos dizer sobre o sinal de f'(x). Para responder, precisamos usar a definição de derivada e interpretar fisicamente o comportamento do nível do rio ao longo de seu curso.

Passo 2

Pela definição,
f'(x)=limDe<a xto0f(x+De<a x)-f(x)De<a x,
então as unidades de f'(x) vêm da razão entre uma variação de nível (em pés) e uma variação de distância (em milhas). Logo, as unidades de f'(x) são “pés por milha”.

Passo 3

Fisicamente, conforme nos afastamos da nascente ( x aumenta), o rio desce de cota, ou seja, o nível em pés tende a diminuir. Isso implica que a variação f(x+De<a x)-f(x) é negativa para De<a x>0. Portanto,
f'(x)<0
em quase todo o curso do rio.

Resposta

As unidades de f'(x) são pés por milha, e f'(x) é negativo.

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