Prove que se u+v+w=0, então:
(a) u times v=v times w=w times u
(b) u times v+v times w+w times u=3(u times v)

Passo 1

Resumo do enunciado e o que precisamos.
Temos três vetores vec u,vec v,vec w tais que
vec u+vec v+vec w=0
O conteúdo principal é manipular o produto vetorial, usando que vec atimesvec a=overrightarrow0 e que ele é antissimétrico ( vec atimesvec b=-,vec btimesvec a). Vamos precisar também reescrever um vetor em função dos outros.

Passo 2

Expressar vec w em função de vec u e vec v.
Da condição vec u+vec v+vec w=overrightarrow0 segue
vec w = -,(vec u+vec v) = -vec u - vec v

Passo 3

Calcular vec vtimesvec w.
Usando vec w=-vec u-vec v e distribuitividade do produto vetorial,
vec vtimesvec w =vec vtimes(-vec u-vec v) =-,vec vtimesvec u ;-;vec vtimesvec v
Mas vec vtimesvec v=overrightarrow0 e -,vec vtimesvec u=vec utimesvec v. Logo
vec vtimesvec w = vec utimesvec v

Passo 4

Calcular vec wtimesvec u.
De novo, com vec w=-vec u-vec v,
vec wtimesvec u =(-vec u-vec v)timesvec u =-,vec utimesvec u;-;vec vtimesvec u =-overrightarrow0;-;vec vtimesvec u =-,vec vtimesvec u =vec utimesvec v
Assim mostramos que
vec utimesvec v = vec vtimesvec w = vec wtimesvec u,
que é a parte (a).

Passo 5

Somar os três produtos vetoriais para (b).
Como cada um dos três é igual a vec utimesvec v, temos
vec utimesvec v + vec vtimesvec w + vec wtimesvec u = vec utimesvec v + vec utimesvec v + vec utimesvec v = 3,(vec utimesvec v)

Resposta

(a) vec utimesvec v = vec vtimesvec w = vec wtimesvec u
(b) vec utimesvec v + vec vtimesvec w + vec wtimesvec u = 3,(vec utimesvec v)

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