Prove que para a v.a. contínua T exponencial, tal que: T sim Exp(beta), tem-se:
V(T)=beta^2.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma variável aleatória contínua $ T $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, ou seja, $ T \sim \operatorname{Exp}(\beta) $. Nosso objetivo é provar que a variância de $ T $, denotada por $ V(T) $, é igual a $ \beta^{2} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é variância, a distribuição exponencial e como calcular esperanças e variâncias para variáveis aleatórias contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a variância. A variância de uma variável aleatória $ T $, $ V(T) $, mede o quanto os valores de $ T $ se dispersam em torno da sua média. Matematicamente, a variância é definida por:
T
onde $ E(T) $ é a esperança (ou valor esperado) de $ T $, e $ E(T^{2}) $ é a esperança do quadrado de $ T $.

Passo 3

Agora, vamos considerar a distribuição exponencial. Para uma variável aleatória $ T $ que segue $ \operatorname{Exp}(\beta) $, a função densidade de probabilidade (PDF) é dada por:
T
A esperança de $ T $, $ E(T) $, para a distribuição exponencial é conhecida e igual a $ \beta $:
Exp(beta)

Passo 4

Precisamos agora calcular $ E(T^{2}) $. Para isso, usamos a definição da esperança para uma variável contínua:
E(T^2)
Substituindo a PDF da distribuição exponencial:
E(T^2) = integral0^infty t^2 fT(t) , dt

Passo 5

Essa integral pode ser resolvida utilizando a fórmula da esperança para potências de uma distribuição exponencial. Sabemos que:
E(T^n) = n! beta^n
Para $ n = 2 $:
n = 2

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula da variância:
V(T) = E(T^2) - [E(T)]^2 = 2 beta^2 - (beta)^2 = beta^2

Resposta

Portanto, a variância de $ T $, $ V(T) $, é igual a $ \beta^{2} $.

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