Prove que para a v.a. contínua
exponencial, tal que:
, tem-se:
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma variável aleatória contínua $ T $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, ou seja, $ T \sim \operatorname{Exp}(\beta) $. Nosso objetivo é provar que a variância de $ T $, denotada por $ V(T) $, é igual a $ \beta^{2} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é variância, a distribuição exponencial e como calcular esperanças e variâncias para variáveis aleatórias contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a variância. A variância de uma variável aleatória $ T $, $ V(T) $, mede o quanto os valores de $ T $ se dispersam em torno da sua média. Matematicamente, a variância é definida por:
onde $ E(T) $ é a esperança (ou valor esperado) de $ T $, e $ E(T^{2}) $ é a esperança do quadrado de $ T $.
Passo 3
Agora, vamos considerar a distribuição exponencial. Para uma variável aleatória $ T $ que segue $ \operatorname{Exp}(\beta) $, a função densidade de probabilidade (PDF) é dada por:
A esperança de $ T $, $ E(T) $, para a distribuição exponencial é conhecida e igual a $ \beta $:
Passo 4
Precisamos agora calcular $ E(T^{2}) $. Para isso, usamos a definição da esperança para uma variável contínua:
Substituindo a PDF da distribuição exponencial:
Passo 5
Essa integral pode ser resolvida utilizando a fórmula da esperança para potências de uma distribuição exponencial. Sabemos que:
Para $ n = 2 $:
Passo 6
Agora, voltamos à fórmula da variância:
Resposta
Portanto, a variância de $ T $, $ V(T) $, é igual a $ \beta^{2} $.