Sejam alpha=-1 / 2 e beta=1 / 2 para uma v.a. contínua U com distribuição Uniforme.
f) Calcule as probabilidade P(1 / 4 <= U <= 1 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com Distribuição Uniforme para uma variável aleatória contínua $ U $. O enunciado nos dá os valores de $ \alpha = -\frac{1}{2} $ e $ \beta = \frac{1}{2} $. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de $ U $ estar entre $ \frac{1}{4} $ e $ \frac{1}{2} $, ou seja, $ P\left(\frac{1}{4} \leq U \leq \frac{1}{2}\right) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Distribuição Uniforme. Uma variável aleatória $ U $ é dita uniformemente distribuída no intervalo U se a probabilidade de $ U $ estar em qualquer subintervalo desse intervalo é proporcional ao tamanho desse subintervalo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) para a distribuição uniforme é dada por:
[ alpha, beta ]

Passo 3

Para calcular a probabilidade $ P\left(a \leq U \leq b\right) $ onde $ a $ e $ b $ estão dentro do intervalo P(a <= U <= b) , usamos a fórmula:
a
Como $ f_U(u) $ é constante, a integral simplifica para:
b

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
  • $ \alpha = -\frac{1}{2} $
  • $ \beta = \frac{1}{2} $
  • $ a = \frac{1}{4} $
  • $ b = \frac{1}{2} $
Substituindo na fórmula:
alpha = -12

Resposta

A probabilidade $ P\left(\frac{1}{4} \leq U \leq \frac{1}{2}\right) $ é igual a $ \frac{1}{4} $.

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