Suponha uma v.a. contínua Y exponencial tal que: Y sim Exp(2).
Construa o gráfico da f.d.a. de Y.

Passo 1

Então, a gente tem uma variável aleatória contínua chamada Y que segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 2, ou seja, Y sim Exp(2). Nosso objetivo aqui é construir o gráfico da função de distribuição acumulada (f.d.a.) dessa variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (f.d.a.). Basicamente, a f.d.a. de uma variável aleatória Y, denotada por FY(y), nos dá a probabilidade de que Y seja menor ou igual a um certo valor y. Em outras palavras, FY(y) = P(Y <= y).

Passo 3

Agora, para uma variável aleatória exponencial com parâmetro lambda, a f.d.a. é dada por:
FY(y) = 1 - e^-lambda y
Isso vale para todo y >= 0. Essa fórmula nos mostra como a probabilidade acumulada cresce à medida que y aumenta.

Passo 4

No nosso caso, o parâmetro lambda é igual a 2. Então, substituindo na fórmula, temos:
FY(y) = 1 - e^-2y
Isso simplifica a nossa função de distribuição acumulada específica para Y sim Exp(2).

Passo 5

Para construir o gráfico da f.d.a., podemos plotar alguns valores de y e calcular FY(y) correspondente usando a fórmula FY(y) = 1 - e^-2y. Por exemplo:
  • Para y = 0, FY(0) = 1 - e^0 = 0
  • Para y = 0.5, FY(0.5) = 1 - e^-1 approx 0.632
  • Para y = 1, FY(1) = 1 - e^-2 approx 0.865
  • E assim por diante.
Conectando esses pontos, teremos uma curva que começa em 0 quando y = 0 e se aproxima de 1 conforme y aumenta.

Resposta

A função de distribuição acumulada de Y é:
FY(y) = 1 - e^-2y

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